Qué hace esta calculadora
La Calculadora de combinaciones con repetición cuenta de cuántas formas puedes elegir r elementos de entre n tipos distintos cuando se permite la repetición y el orden de selección no importa. Es una de las fórmulas fundamentales de la combinatoria y la probabilidad, conocida también como el problema de las "estrellas y barras". Como cada tipo se puede escoger más de una vez, el número de posibilidades es mayor que en las combinaciones ordinarias sin repetición.
Los datos que introduces
- Número total de tipos de elementos (n): cuántas categorías distintas tienes disponibles para elegir; por ejemplo, 3 sabores de helado.
- Número de elementos que eliges (r): cuántas selecciones haces en total, teniendo en cuenta que un mismo tipo puede repetirse.
Introduce ambos valores como números enteros y la calculadora te devuelve al instante un único resultado: la cantidad de multiconjuntos distintos (selecciones sin orden que admiten repeticiones).
La fórmula
La herramienta aplica la ecuación estándar de combinaciones con repetición:
$$C^{R}(n,r) = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$
Internamente calcula tres factoriales —\((n + r - 1)!\), \(r!\) y \((n - 1)!\)— y luego divide tal como se muestra. Al trabajar con factoriales exactos y aritmética de números enteros, el resultado es un recuento entero exacto, no una aproximación.
Ejemplo resuelto
Imagina que una heladería ofrece n = 3 sabores y quieres un vaso con r = 2 bolas, pudiendo repetir sabor. Sustituye n = 3 y r = 2:
- \(n + r - 1 = 3 + 2 - 1 = 4\)
- $$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \mathbf{6}$$
Por tanto, existen 6 vasos posibles de dos bolas: AA, BB, CC, AB, AC y BC. La calculadora devuelve 6 al instante.
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia de las combinaciones normales? Las combinaciones ordinarias, \(C(n, r)\), no admiten repeticiones: cada elemento se elige como máximo una vez. Las combinaciones con repetición permiten escoger el mismo tipo varias veces, y por eso pasamos a usar \(C(n + r - 1, r)\).
¿Importa aquí el orden? No. AB y BA cuentan como la misma selección. Si el orden importara, usarías permutaciones en su lugar.
¿Puede ser r mayor que n? Sí. Como se permite la repetición, puedes elegir más elementos que tipos disponibles; por ejemplo, escoger 5 bolas de 3 sabores es perfectamente válido y da un recuento mayor.
