Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula dos magnitudes esenciales de la combinatoria: las permutaciones (nPr) y las combinaciones (nCr). Solo tienes que indicar el número total de elementos distintos, n, y cuántos de ellos quieres seleccionar u ordenar, r. La calculadora te devuelve cuántos resultados diferentes son posibles en cada caso. Las permutaciones cuentan las disposiciones en las que el orden importa, mientras que las combinaciones cuentan las selecciones en las que el orden es indiferente.
Cómo usarla
Introduce el número total de elementos (\(n\)) y cuántos vas a elegir (\(r\)); después consulta los resultados. El recuadro principal muestra el número de permutaciones y la tabla inferior muestra el número de combinaciones. Ten en cuenta que \(r\) debe ser menor o igual que \(n\): si \(r\) es mayor que \(n\), no existe ninguna forma de elegir, así que el resultado es 0.
Las fórmulas, paso a paso
Ambas fórmulas se basan en el factorial, donde \(n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1\), y \(0! = 1\). La fórmula de las permutaciones $$P(n,r) = \frac{n!}{\left(n - r\right)!}$$ elimina del cálculo las disposiciones de los elementos que no has escogido. La fórmula de las combinaciones $$C(n,r) = \frac{n!}{r! \left(n - r\right)!}$$ divide además entre \(r!\) para descartar los órdenes repetidos de los elementos elegidos, ya que aquí el orden no cuenta.
Ejemplo resuelto
Imagina que tienes 5 libros y quieres saber de cuántas formas puedes colocar 3 en una estantería. Permutaciones: $$\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$$ disposiciones ordenadas. Si solo te importa qué 3 libros eliges (y no su orden), combinaciones: $$\frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$$ selecciones.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo conviene usar permutaciones y cuándo combinaciones? Usa permutaciones cuando el orden importa (contraseñas, llegadas de una carrera, distribución de asientos) y combinaciones cuando no importa (números de la lotería, formación de comités, elección de ingredientes).
¿Por qué nCr siempre es menor o igual que nPr? Cada combinación corresponde a \(r!\) permutaciones, así que las combinaciones son las permutaciones divididas entre \(r!\).
¿Y si n es muy grande? Los factoriales crecen a un ritmo enorme. Esta calculadora admite valores de hasta aproximadamente \(n = 170\) antes de superar el rango de los números estándar de doble precisión.
