ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة كميتين أساسيتين في علم التوافيقيات (Combinatorics): التباديل (nPr) والتوافيق (nCr). كل ما عليك هو إدخال العدد الإجمالي للعناصر المختلفة n، وعدد العناصر التي ترغب في اختيارها أو ترتيبها r، لتعرض لك الحاسبة عدد النتائج الممكنة في كل حالة. تُحصي التباديل عدد طرق الترتيب التي يهمّ فيها التسلسل، بينما تُحصي التوافيق عدد طرق الاختيار التي لا يهمّ فيها التسلسل.
طريقة الاستخدام
أدخِل العدد الإجمالي للعناصر (n) ثم عدد العناصر التي تختارها (r)، واطّلع على النتائج. يعرض المربع الرئيسي عدد التباديل، أما الجدول أسفله فيعرض عدد التوافيق. لاحظ أن قيمة \(r\) يجب أن تكون أصغر من أو تساوي \(n\)؛ فإذا كانت \(r\) أكبر من \(n\) فلا توجد أي طريقة للاختيار، وتكون النتيجة 0.
شرح المعادلات
تعتمد المعادلتان كلتاهما على دالة المضروب (العاملي)، حيث \(n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1\)، و\(0! = 1\). معادلة التباديل $$P(n,r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ تستبعد ترتيبات العناصر التي لم تخترها. أما معادلة التوافيق $$C(n,r) = \frac{\text{n}!}{\text{r}! \left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ فتقسم إضافيًا على \(r!\) لإزالة الترتيبات المكرّرة للعناصر المختارة، لأن الترتيب غير مهم هنا.
مثال محلول
لنفترض أن لديك 5 كتب وتريد معرفة عدد الطرق لملء 3 أماكن على رفّ. التباديل: $$5! / (5-3)! = 120 / 2 = 60$$ ترتيبًا مختلفًا. أما إذا كان كل ما يهمّك هو أيّ 3 كتب تختار (دون النظر إلى ترتيبها)، فإن التوافيق: $$5! / (3! \cdot 2!) = 120 / (6 \cdot 2) = 10$$ اختيارات.
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم التباديل بدلًا من التوافيق؟ استخدم التباديل عندما يكون الترتيب مهمًا (كلمات المرور، ترتيب الوصول في السباقات، توزيع المقاعد)، واستخدم التوافيق عندما لا يكون الترتيب مهمًا (أرقام اليانصيب، تشكيل اللجان، اختيار الإضافات على الطعام).
لماذا تكون nCr دائمًا أصغر من أو تساوي nPr؟ لأن كل توفيقة واحدة تقابلها \(r!\) من التباديل، أي أن عدد التوافيق هو عدد التباديل مقسومًا على \(r!\).
ماذا عن القيم الكبيرة جدًا لـ n؟ تنمو المضاريب (العواملي) بسرعة هائلة. تتعامل هذه الحاسبة مع قيم تصل إلى نحو \(n = 170\) قبل أن تتجاوز نطاق الأعداد ذات الدقة المزدوجة القياسية.
