ماذا تفعل هذه الحاسبة
تجيب هذه الأداة عن السؤال الجوهري في علم التوافيقيات: كم عدد الطرق الممكنة لاختيار أو ترتيب عينة من r من العناصر من مجموعة تضم n من الكائنات المتمايزة؟ وهي تغطي حالات اختيار العينات الأربع التي يحددها خياران بنعم أو لا — هل يهم الترتيب، وهل يُسمح بالتكرار — إضافةً إلى الحسابات المستقلة: المضروب، والتباديل الزوجية والفردية، والتباديل الدائرية. كل النتائج هنا أعداد مجردة بلا وحدات، لذا لا توجد وحدات قياس ولا تحويلات.
حالات اختيار العينات الأربع
التوافيق (الترتيب لا يهم، بلا تكرار): $$ {}_nC_r = \frac{n!}{r!\,(n-r)!} $$ التباديل (الترتيب يهم، بلا تكرار): $$ {}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} $$ التوافيق مع التكرار (الترتيب لا يهم، مع التكرار): \( CR(n,r) = C(n+r-1, r) \). التباديل مع التكرار (الترتيب يهم، مع التكرار): \( PR(n,r) = n^r \). أما في الحالات التي لا تسمح بالتكرار، فإذا كانت \(r\) أكبر من \(n\) تكون النتيجة 0، لأنه لا يمكن اختيار عناصر أكثر مما هو متاح فعلاً.
الحسابات المستقلة
المضروب \( n! = n(n-1)\dots2\cdot1 \)، مع اعتبار \( 0! = 1 \). التباديل الزوجية \( = n!/2 \) عندما تكون \(n\) أكبر من أو تساوي 2 (وهي حجم الزمرة المتناوبة). التباديل الفردية \( = n!/2 \) عندما تكون \(n\) أكبر من أو تساوي 2، وتساوي 0 فيما عدا ذلك. التبديل الدائري \( = (n-1)! \)، وهو عدد الترتيبات المتمايزة لـ \(n\) من الكائنات حول دائرة، حيث تُعتبر الدورات المتطابقة شيئاً واحداً.
طريقة الاستخدام
أدخل حجم المجموعة \(n\) وحجم العينة \(r\)، ثم اختر نوع الاختيار، واقرأ عدد الطرق. أما الأنماط التي تتجاهل \(r\) (المضروب والتباديل الزوجية والفردية والدائرية) فتعتمد على \(n\) فقط.
مثال محلول
لاختيار 3 فائزين من بين 10 متسابقين دون أهمية للترتيب: اختر «التوافيق» مع \( n = 10 \) و \( r = 3 \). النتيجة هي $$ C(10,3) = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} = \frac{720}{6} = 120 $$ أما إذا كان الترتيب مهماً (المركز الأول والثاني والثالث)، فانتقل إلى «التباديل» لتحصل على $$ P(10,3) = 10\cdot9\cdot8 = 720 $$
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم التوافيق ومتى أستخدم التباديل؟ استخدم التوافيق عندما لا يهم ترتيب الاختيار (مثل تشكيل لجنة)، واستخدم التباديل عندما يكون الترتيب مهماً (مثل التصنيفات أو كلمات المرور).
ماذا تعني عبارة «مع التكرار»؟ بعد اختيار عنصر تعيده إلى المجموعة، بحيث يمكن اختيار العنصر نفسه مرة أخرى — وهذا مفيد في المعاينة مع التكرار.
لماذا قد تفقد النتائج الكبيرة جداً دقتها؟ تتزايد الأعداد بسرعة مضروبية وقد تتجاوز المدى الدقيق للأرقام ذات الفاصلة العائمة؛ لذا في حالات \(n\) و \(r\) الضخمة عامِل العدد الصحيح المعروض كقيمة تقريبية قريبة.
