ما هي متتالية فيبوناتشي؟
متتالية فيبوناتشي هي سلسلة من الأعداد الصحيحة يكون فيها كل رقم مساويًا لمجموع الرقمين السابقين له، بدءًا من 0 و1: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، وهكذا. تظهر هذه المتتالية في كثير من مجالات الرياضيات وفي الطبيعة من حولنا، من الأصداف الحلزونية وبذور دوار الشمس إلى النسبة الذهبية. تتيح لك هذه الحاسبة الحصول على رقم فيبوناتشي واحد \(F_n\) لأي ترتيب n، أو إنشاء المتتالية بأكملها بين ترتيب بداية وترتيب نهاية.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر الوضع المناسب من قائمة إنشاء المنسدلة. حدد رقم واحد وأدخل الترتيب n للحصول على القيمة المنفردة \(F_n\) مع خطوة العلاقة التراجعية الخاصة بها. أو حدد متتالية وأدخل ترتيب البداية n وترتيب النهاية n لعرض كل أرقام فيبوناتشي ضمن هذا النطاق شاملًا الطرفين. يمكن أن تكون قيم الترتيب موجبة أو سالبة، والنطاق المدعوم يمتد من -200 إلى 200.
شرح المعادلة
القاعدة الأساسية هي العلاقة التراجعية $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_0 = 0, \; F_1 = 1$$ حيث \(F_0 = 0\) و \(F_1 = 1\). للحصول على نتائج دقيقة عند القيم الكبيرة لـ n، تعتمد هذه الأداة على التكرار باستخدام أعداد صحيحة بدقة لا محدودة بدلًا من صيغة بينيه ذات الفاصلة العائمة، التي تفقد دقتها تقريبًا بعد n = 71. أما القيم السالبة فتتبع قاعدة نيغافيبوناتشي \(F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n\)، فيكون \(F_{-1} = 1\)، و \(F_{-2} = -1\)، و \(F_{-3} = 2\)، و \(F_{-4} = -3\)، وهكذا.
مثال محلول
لإيجاد \(F_{15}\)، نكرّر المتتالية حتى الترتيب 15: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610. إذًا $$F_{15} = 610$$ وهو يساوي $$F_{14} + F_{13} = 377 + 233 = 610$$
الأسئلة الشائعة
هل تدعم الحاسبة الترتيب السالب؟ نعم. فهي تستخدم امتداد نيغافيبوناتشي، الذي ينتج نتائج متناوبة الإشارة مثل \(F_{-6} = -8\).
ما أقصى قيمة ممكنة لـ n؟ النطاق المدعوم من -200 إلى 200. ويتكوّن \(F_{200}\) من 42 رقمًا ويُحسب بدقة تامة باستخدام أعداد صحيحة بدقة لا محدودة.
لماذا لا نستخدم صيغة بينيه فحسب؟ صيغة بينيه المغلقة أنيقة للعرض، لكن تقريب الدقة المزدوجة يجعلها غير موثوقة عند القيم الكبيرة لـ n، لذا يُستخدم التكرار الصحيح الدقيق لاستخراج الإجابة.
