Калькулятор чисел и последовательности Фибоначчи

Введите расчет

Что вычислять одно число последовательность

Fn при n =

Начальное n

Конечное n

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Closed form (Binet)

   

   Golden-ratio expression where phi = (1+sqrt5)/2 and psi = (1-sqrt5)/2.

Результатов

F₁₅

610

Fibonacci number at index 15

Рекуррентная формула	F15 = F15-1 + F15-2 = 377 + 233
Fn-1	377
Fn-2	233
Замкнутая формула (Бине)	Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5

Что такое последовательность Фибоначчи?

Последовательность Фибоначчи — это ряд целых чисел, в котором каждое число равно сумме двух предыдущих, начиная с 0 и 1: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и так далее. Она встречается повсюду — и в математике, и в природе: от спиралей раковин и расположения семечек в подсолнухе до золотого сечения. Этот калькулятор возвращает отдельное число Фибоначчи \(F_n\) по любому индексу \(n\) или строит всю последовательность между начальным и конечным индексами.

Каждое число Фибоначчи — это сумма двух предыдущих, образующая классическую мозаику из квадратов и спираль.

Как пользоваться калькулятором

Выберите режим в списке Что вычислять. Вариант одно число и ввод индекса \(n\) дадут единственное значение \(F_n\) вместе с шагом рекуррентной формулы. Вариант последовательность и ввод начального и конечного \(n\) выведут все числа Фибоначчи в этом диапазоне (включая границы). Индексы могут быть как положительными, так и отрицательными; допустимый диапазон — от -200 до 200.

Разбор формулы

Основное правило — рекуррентное соотношение $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_0 = 0, \; F_1 = 1$$ Чтобы получать точные результаты при больших \(n\), калькулятор использует итерации с целыми числами произвольной точности, а не формулу Бине с плавающей точкой, которая теряет точность примерно после \(n = 71\). Отрицательные индексы подчиняются правилу нега-Фибоначчи \(F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n\), поэтому \(F_{-1} = 1\), \(F_{-2} = -1\), \(F_{-3} = 2\), \(F_{-4} = -3\) и так далее.

Реклама

Каждый член равен сумме двух предыдущих членов.

Пример вычисления

Чтобы найти \(F_{15}\), пройдём по последовательности до индекса 15: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610. Получаем $$F_{15} = 610 = F_{14} + F_{13} = 377 + 233 = 610$$

Частые вопросы

Поддерживаются ли отрицательные индексы? Да. Используется расширение нега-Фибоначчи, которое даёт результаты с чередующимися знаками, например \(F_{-6} = -8\).

Насколько большим может быть n? Допустимый диапазон — от -200 до 200. Например, \(F_{200}\) содержит 42 цифры и вычисляется точно с помощью целых чисел произвольной точности.

Почему не используется формула Бине? Замкнутая формула Бине \(F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}\) удобна для демонстрации, но округление при двойной точности делает её ненадёжной для больших \(n\), поэтому для самого ответа применяется точная целочисленная итерация.