피보나치 수열이란?
피보나치 수열은 바로 앞의 두 수를 더해 다음 수를 만드는 정수 수열로, 0과 1에서 시작합니다. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…처럼 이어지죠. 이 수열은 수학뿐 아니라 자연 곳곳에서 발견됩니다. 소라 껍데기의 나선이나 해바라기 씨앗의 배열, 그리고 황금비까지 모두 피보나치와 관련이 있습니다. 이 계산기는 임의의 인덱스 \(n\)에 대한 개별 피보나치 수 \(F_n\)을 알려주거나, 시작 인덱스부터 끝 인덱스까지의 전체 수열을 한 번에 만들어 줍니다.
계산기 사용법
생성 드롭다운에서 모드를 선택하세요. 단일 값을 고르고 인덱스 \(n\)을 입력하면 해당 항 \(F_n\)과 그 점화 단계를 함께 보여 줍니다. 수열을 선택한 뒤 시작 \(n\)과 끝 \(n\)을 입력하면 그 범위(양 끝 포함)에 속한 모든 피보나치 수가 나열됩니다. 인덱스는 양수든 음수든 사용할 수 있으며, 지원 범위는 -200부터 200까지입니다.
공식 풀이
핵심 규칙은 점화식 $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$이며, 초기값은 \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\)입니다. \(n\)이 큰 경우에도 정확한 값을 얻기 위해, 이 도구는 부동소수점을 쓰는 비네(Binet) 공식 $$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$ 대신 임의 정밀도 정수로 반복 계산을 합니다. 비네 공식은 대략 \(n = 71\)을 넘어서면 정확도가 떨어지기 때문이죠. 음수 인덱스는 네가피보나치(negafibonacci) 규칙 $$F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n$$을 따릅니다. 그래서 \(F_{-1} = 1\), \(F_{-2} = -1\), \(F_{-3} = 2\), \(F_{-4} = -3\)처럼 부호가 번갈아 나타납니다.
계산 예시
\(F_{15}\)를 구하려면 인덱스 15까지 수열을 차례로 펼쳐 봅니다. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610. 따라서 \(F_{15} = 610\)이며, 이는 $$F_{14} + F_{13} = 377 + 233 = 610$$과 같습니다.
자주 묻는 질문
음수 인덱스도 지원하나요? 네. 네가피보나치 확장을 사용하므로 \(F_{-6} = -8\)처럼 부호가 번갈아 나오는 결과를 얻을 수 있습니다.
n은 얼마까지 가능한가요? 지원 범위는 -200부터 200까지입니다. \(F_{200}\)은 42자리 수이며, 임의 정밀도 정수로 정확하게 계산됩니다.
비네 공식을 쓰면 안 되나요? 비네의 닫힌 형태 공식은 보여 주기에는 우아하지만, 배정밀도 반올림 오차 때문에 \(n\)이 커지면 신뢰하기 어렵습니다. 그래서 정답 계산에는 정확한 정수 반복 계산을 사용합니다.
