ما هي المتتالية العددية؟
المتتالية العددية هي قائمة مرتبة من الأعداد تخضع لقاعدة ثابتة. وأكثر الأنواع شيوعًا نوعان: المتتاليات الحسابية، التي يزداد فيها كل حد بمقدار ثابت يُسمى الأساس (الفرق المشترك \(d\))، والمتتاليات الهندسية، التي يُضرب فيها كل حد بعامل ثابت يُسمى النسبة (الأساس \(r\)). تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد قيمة أي حد تختاره (الحد النوني) ومجموع كل الحدود حتى ذلك الموضع.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولًا نوع المتتالية، ثم أدخل ثلاث قيم: الحد الأول (\(a_1\))، والأساس أو النسبة (\(d\) للحسابية و\(r\) للهندسية)، وموضع الحد \(n\) الذي تريد حسابه. اضغط على زر الحساب لتظهر لك قيمة الحد النوني \(a_n\) والمجموع الجزئي \(S_n\) لأول \(n\) حدًا.
شرح القوانين
في المتتالية الحسابية، تضيف كل خطوة المقدار \(d\)، ومن ثَمّ يُحسب الحد النوني بالقانون $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ بينما يُحسب مجموع أول \(n\) حدًا بالقانون $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$ وهو ببساطة متوسط الحد الأول والأخير مضروبًا في عدد الحدود.
أما في المتتالية الهندسية، فتضرب كل خطوة في النسبة \(r\)، فيكون الحد النوني $$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$ ويُحسب المجموع بالقانون $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^{\,n} - 1}{r - 1}$$ عندما تكون \(r \neq 1\)؛ أما إذا كانت \(r = 1\) فإن المجموع يساوي ببساطة \(a_1 \cdot n\).
مثال محلول
لنأخذ متتالية حسابية فيها \(a_1 = 2\) و\(d = 3\) و\(n = 10\). الحد العاشر يساوي $$2 + (10-1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ ومجموع أول 10 حدود يساوي $$\frac{10}{2}\left(2\cdot 2 + 9\cdot 3\right) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155$$
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون الأساس أو النسبة سالبًا؟ نعم. القيمة السالبة لـ \(d\) تجعل المتتالية الحسابية متناقصة، والقيمة السالبة لـ \(r\) تجعل إشارة حدود المتتالية الهندسية تتناوب بين الموجب والسالب.
ماذا لو كانت النسبة تساوي 1 تمامًا؟ يتبسط مجموع المتتالية الهندسية ليصبح \(a_1 \times n\)، وهو ما تعالجه الحاسبة تلقائيًا.
هل يجب أن يكون n عددًا صحيحًا؟ نعم — موضع الحد \(n\) هو عدد صحيح موجب (1، 2، 3، …).
