Dãy số là gì?
Dãy số là một danh sách các số được sắp xếp theo một thứ tự nhất định và tuân theo một quy luật cố định. Hai loại phổ biến nhất là cấp số cộng, trong đó mỗi số hạng tăng thêm một lượng không đổi (gọi là công sai, ký hiệu d), và cấp số nhân, trong đó mỗi số hạng được nhân với một hệ số không đổi (gọi là công bội, ký hiệu r). Công cụ này giúp bạn tìm cả giá trị của một số hạng bất kỳ (số hạng thứ n) lẫn tổng của toàn bộ các số hạng tính đến vị trí đó.
Cách sử dụng máy tính
Trước tiên hãy chọn loại dãy số, sau đó nhập ba giá trị: số hạng đầu (a₁), công sai hoặc công bội (d cho cấp số cộng, r cho cấp số nhân) và vị trí n của số hạng bạn muốn tính. Nhấn nút tính toán để xem ngay số hạng thứ n là aₙ và tổng riêng phần Sₙ của n số hạng đầu tiên.
Giải thích các công thức
Với cấp số cộng, mỗi bước ta cộng thêm d, nên số hạng thứ n được tính bằng $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ còn tổng của n số hạng đầu là $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$ — về bản chất chính là lấy trung bình của số hạng đầu và số hạng cuối rồi nhân với số lượng số hạng.
Với cấp số nhân, mỗi bước ta nhân với r, cho ra $$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$ Tổng được tính bằng $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^{\,n} - 1}{r - 1}$$ khi \(r \neq 1\); còn nếu \(r = 1\) thì tổng đơn giản chỉ là \(a_1 \cdot n\).
Ví dụ minh họa
Xét một cấp số cộng có \(a_1 = 2\), \(d = 3\) và \(n = 10\). Số hạng thứ 10 là $$2 + (10-1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ Tổng của 10 số hạng đầu tiên là $$\frac{10}{2}\left(2\cdot 2 + 9\cdot 3\right) = 5 \cdot (4 + 27) = 5 \cdot 31 = 155$$
Câu hỏi thường gặp
Công sai hay công bội có thể là số âm không? Có. Công sai d âm sẽ khiến cấp số cộng giảm dần; còn công bội r âm sẽ làm cho các số hạng của cấp số nhân đổi dấu xen kẽ.
Nếu công bội đúng bằng 1 thì sao? Khi đó tổng của cấp số nhân rút gọn thành \(a_1 \times n\), và máy tính sẽ tự động xử lý trường hợp này.
n có bắt buộc phải là số nguyên không? Có — vị trí số hạng n luôn là một số nguyên dương (1, 2, 3, …).
