ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب حاسبة التوافيق مع التكرار عدد الطرق الممكنة لاختيار r من العناصر من بين n من الأنواع المختلفة، مع السماح بتكرار النوع نفسه ودون أن يكون لترتيب الاختيار أي أهمية. هذه إحدى الصيغ الأساسية في علم التوافيق ونظرية الاحتمالات، وتُعرف غالبًا بمسألة «النجوم والفواصل» (stars and bars). وبما أنه يمكن اختيار كل نوع أكثر من مرة، يكون العدد الناتج أكبر من عدد التوافيق العادية دون تكرار.
المُدخلات المطلوبة
- العدد الإجمالي لأنواع العناصر (n): كم فئة مختلفة يمكنك الاختيار من بينها — مثلًا 3 نكهات من المثلجات.
- عدد العناصر المراد اختيارها (r): كم اختيارًا تقوم به في المجموع، مع إمكانية انتقاء النوع نفسه أكثر من مرة.
أدخل كلا القيمتين كأعداد صحيحة، وتعيد الحاسبة على الفور نتيجة واحدة: عدد المجموعات المتعددة المتمايزة (اختيارات غير مرتبة تسمح بالتكرار).
الصيغة الرياضية
تطبّق الأداة المعادلة القياسية للتوافيق مع التكرار:
$$C^{R}(n,r) = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$تحسب الأداة داخليًا ثلاثة مضروبات — \((n + r - 1)!\) و\(r!\) و\((n - 1)!\) — ثم تجري عملية القسمة كما هو موضح. وبما أنها تعتمد على مضروبات دقيقة بحساب الأعداد الصحيحة، تكون النتيجة عددًا صحيحًا دقيقًا لا تقريبًا.
مثال محلول
لنفترض أن محل مثلجات يقدّم n = 3 من النكهات، وتريد كوبًا مكوّنًا من r = 2 من الكرات مع إمكانية تكرار النكهة نفسها. عوّض بالقيمتين n = 3 وr = 2:
- \(n + r - 1 = 3 + 2 - 1 = 4\)
- $$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \mathbf{6}$$
إذًا توجد 6 احتمالات لكوب من كرتين: AA وBB وCC وAB وAC وBC. وتعيد الحاسبة الرقم 6 فورًا.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين هذا وبين التوافيق العادية؟ التوافيق العادية \(C(n, r)\) تمنع التكرار — إذ يُختار كل عنصر مرة واحدة على الأكثر. أما التوافيق مع التكرار فتسمح باختيار النوع نفسه عدة مرات، ولهذا ننتقل إلى الصيغة \(C(n + r - 1, r)\).
هل للترتيب أهمية هنا؟ لا. فاختيار AB يُعدّ نفس اختيار BA. ولو كان الترتيب مهمًا لاستخدمت التباديل (التراتيب) بدلًا من ذلك.
هل يمكن أن يكون r أكبر من n؟ نعم. وبما أن التكرار مسموح به، يمكنك اختيار عدد من العناصر أكبر من عدد الأنواع — فمثلًا اختيار 5 كرات من 3 نكهات أمر صحيح تمامًا ويعطي عددًا أكبر.
