このツールでできること
重複組合せ計算ツールは、n 種類の異なるものの中から、同じものを何度選んでもよく、かつ選ぶ順序を区別しない条件で r 個を取り出す方法が何通りあるかを計算します。これは組合せ論や確率の基礎となる考え方で、「重複組合せ」あるいは英語では「stars and bars（仕切り棒の方法）」とも呼ばれます。同じ種類を繰り返し選べるため、重複を許さない通常の組合せよりも数が多くなります。
入力する値
- ものの種類の数（n）： 選ぶ対象となる異なるカテゴリーの数です。たとえばアイスクリームのフレーバーが3種類、といった具合です。
- 選ぶ個数（r）： 合計で何個取り出すかを表します。同じ種類を何度選んでも構いません。
どちらも整数で入力すると、計算ツールが結果を瞬時に1つ返します。これは、重複を許す順序を区別しない選び方（多重集合）の総数です。
計算式
このツールは、重複組合せの標準的な公式を用います。
$$C^{R}(n,r) = \frac{(\text{n} + \text{r} - 1)!}{\text{r}!\,(\text{n} - 1)!}$$
内部では3つの階乗 ——（n + r − 1)!、r!、(n − 1)! —— を計算し、上の式のとおりに割り算を行います。正確な階乗と整数演算を用いているため、近似ではなく厳密な整数の値が得られます。
計算例
あるアイスクリーム店で n = 3 種類のフレーバーがあり、同じフレーバーを重ねてもよいという条件で r = 2 玉のカップを作りたいとします。n = 3、r = 2 を当てはめてみましょう。
- \(n + r - 1 = 3 + 2 - 1 = 4\)
- $$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \mathbf{6}$$
つまり、2玉カップの組み合わせは6通りです：AA、BB、CC、AB、AC、BC。計算ツールはこの6を瞬時に返します。
よくある質問
通常の組合せとは何が違うのですか？ 通常の組合せ \(C(n, r)\) では重複が許されず、各要素は最大でも1回しか選べません。一方、重複組合せでは同じ種類を複数回選べます。そのため、式が \(C(n + r - 1, r)\) に変わるのです。
順序は関係しますか？ いいえ、関係しません。AB と BA は同じ選び方として数えます。順序を区別したい場合は、組合せではなく順列を使います。
r が n より大きくてもよいですか？ はい、問題ありません。重複が許されるため、種類の数より多くの個数を選ぶことができます。たとえば3種類のフレーバーから5玉を選ぶことも正しい計算で、結果はより大きな数になります。
