重複順列とは？
重複順列とは、n 個の異なるものから長さ r の並びを作るときに、(1) 並べる順序を区別し、かつ (2) 同じものを何度でも選んでよいという条件で数えた、その並べ方の総数のことです。たとえば n 文字からなるアルファベットを思い浮かべてください。長さ r の重複順列とは、そのアルファベットを使って作れる長さ r の「単語」すべてに相当します。この計算ツールは、公式 \(P^{R}(n, r) = n^{r}\) を使ってその総数を求めます。
計算ツールの使い方
使えるものの個数（母集団）である n と、作りたい並びの長さである r を入力します。どちらも 0 以上の整数で指定してください。「計算」を押すと、考えられる並べ方の総数が表示されます。この数は指数関数的に増えていくため、非常に大きな値になる場合は指数表記（科学的記数法）で示されます。
公式の考え方
並びの r 個の位置はそれぞれ独立に決められ、重複が許されるためどの位置にも n 通りの値が入ります。掛け算の原理（積の法則）により、総数は n × n × … × n（因数は r 個）となり、これは \(n^{r}\) に等しくなります。 $$P^{R}(n, r) = n^{r}$$ これは、各要素を最大 1 回しか使えない「重複を許さない順列」\(P(n, r) = n! / (n - r)!\) とは異なります。
計算例
アルファベット {a, b, c, d} の場合、\(n = 4\) です。長さ \(r = 2\) の並びは何通りあるでしょうか。 $$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16$$ 通りで、aa, ab, ac, ad, ba, bb, … , dd となります。より長い並びでは、 $$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1{,}099{,}511{,}627{,}776 \approx 1.0995 \times 10^{12}$$ 通りになります。
よくある質問
r = 0 のときはどうなりますか？ どんな n でも \(n^{0} = 1\) となります。これは「空の並び」がちょうど 1 通り存在することを意味します。慣例として、この計算ツールでは \(0^{0}\) も 1 として扱います。
n = 0 で r > 0 のときは？ \(0^{r} = 0\) です。選べるものが 1 つもなければ、空でない並びは作れません。
組合せではなく、こちらを使うべきなのはどんなとき？ 順序を区別し、かつ重複を許す場合は重複順列を使います。たとえば暗証番号（PIN）、サイコロを振った目の並び、文字列などです。順序を区別しない場合は組合せを使ってください。
