중복순열이란?
중복순열은 서로 다른 n개의 대상으로 이루어진 집합에서 길이 r의 정렬된 수열을 만들 수 있는 경우의 수를 세는 개념입니다. 단, (1) 항목의 순서가 중요하고 (2) 각 대상을 한 번 이상 중복해서 고를 수 있어야 합니다. n개의 글자로 된 알파벳을 떠올려 보세요. 길이 r의 중복순열은 그 알파벳으로 만들 수 있는 길이 r짜리 모든 "단어"라고 생각하면 됩니다. 이 계산기는 $$P^{R}(n, r) = n^{r}$$ 공식으로 그 개수를 구해 줍니다.
계산기 사용법
n에는 선택할 수 있는 서로 다른 대상의 개수(전체 집합)를, r에는 만들고자 하는 정렬된 표본의 길이를 입력하세요. 두 값 모두 0 이상의 정수여야 합니다. 계산 버튼을 누르면 가능한 정렬된 수열의 총 개수가 나옵니다. 결과는 지수적으로 빠르게 커지기 때문에, 값이 아주 클 경우에는 과학적 표기법(지수 표기)으로 표시됩니다.
공식 풀이
수열의 r개 자리는 각각 독립적으로 채워지며, 중복이 허용되므로 모든 자리에 n개의 값 중 무엇이든 올 수 있습니다. 곱의 법칙에 따라 전체 경우의 수는 \(n \times n \times \ldots \times n\)으로 n번 곱한 값, 즉 \(n^{r}\)이 됩니다. 이는 각 대상을 한 번만 쓸 수 있는 중복을 허용하지 않는 순열 \(P(n, r) = n! / (n - r)!\) 과는 다릅니다.
예제로 살펴보기
알파벳 {a, b, c, d}가 있다면 \(n = 4\)입니다. 길이 \(r = 2\)인 정렬된 쌍은 몇 개나 만들 수 있을까요? $$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16$$ 개입니다: aa, ab, ac, ad, ba, bb, ... , dd. 더 긴 문자열이라면 $$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1{,}099{,}511{,}627{,}776 \approx 1.0995 \times 10^{12}$$이 됩니다.
자주 묻는 질문
r = 0일 때는 어떻게 되나요? 어떤 n에 대해서도 \(n^{0} = 1\)입니다. 즉, 비어 있는 수열(공수열)이 정확히 하나 존재합니다. 이 계산기는 관례에 따라 \(0^{0}\)도 1로 처리합니다.
n = 0이고 r > 0이면요? \(0^{r} = 0\)입니다. 고를 수 있는 대상이 하나도 없으니 비어 있지 않은 수열은 만들 수 없습니다.
조합 대신 이 계산기를 언제 써야 하나요? PIN 번호, 주사위를 굴린 순서, 문자열처럼 순서가 중요하고 중복이 허용될 때 중복순열을 사용하세요. 순서가 상관없을 때는 조합을 사용합니다.
