짝순열 계산기란?
짝순열 계산기는 서로 다른 n개의 원소로 이루어진 집합에 대해 짝순열(even permutation)이 몇 개나 존재하는지 알려 줍니다. 군론(group theory)에서 순열은 짝수 번의 호환(두 원소를 맞바꾸는 연산)으로 표현되면 "짝(even)", 홀수 번이 필요하면 "홀(odd)"이라고 부릅니다. 원소가 2개 이상인 집합에서는 전체 순열의 정확히 절반이 짝순열이고 나머지 절반이 홀순열입니다. 이 도구는 그 개수를 즉시 계산하며, 이해를 돕기 위해 전체 순열 수와 홀순열 수도 함께 보여 줍니다.
사용 방법
입력란은 하나뿐입니다.
- 원소 개수 (n) — 집합의 크기를 나타내는 양의 정수를 입력하세요. 값은 100,000 이하여야 합니다.
입력 후 계산하면 전체 순열 수(\(n!\)), 짝순열 수, 홀순열 수가 표시됩니다. 0 이하의 값, 100,000을 초과하는 값, 정수가 아닌 값을 입력하면 결과 대신 명확한 오류 메시지가 나타납니다.
공식 풀이
짝순열의 개수는 다음과 같습니다.
$$E_n = \frac{n!}{2}$$
여기서 \(n!\)(n 팩토리얼)은 1부터 n까지 모든 정수를 곱한 값으로, 서로 다른 n개의 원소를 배열하는 전체 경우의 수와 같습니다. 짝순열과 홀순열이 대칭군을 정확히 반으로 나누기 때문에, 전체를 2로 나누면 짝순열 개수가 나옵니다. 또한 계산기는 홀순열을 \(n! - \frac{n!}{2}\)로 구하는데, 그 값도 동일합니다 — 즉 절반씩 균등하게 나뉜다는 것을 확인할 수 있습니다. 내부적으로는 BigInteger 연산을 사용하므로 아주 큰 팩토리얼도 오버플로 없이 처리합니다.
예제로 풀어 보기
n = 4인 경우를 살펴봅시다. 전체 순열은 $$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$개입니다. 짝순열은 다음과 같습니다.
$$\frac{24}{2} = 12$$
따라서 원소 4개로 이루어진 집합은 짝순열 12개와 홀순열 12개를 가집니다. 이 12개의 짝순열은 교대군 A₄를 이룹니다. n = 5일 때는 \(5! = 120\)이므로 짝순열은 60개이며, 이는 교대군 A₅에 해당합니다.
자주 묻는 질문
왜 답이 항상 \(n!\)의 정확히 절반인가요? n ≥ 2인 모든 경우, 하나의 호환을 곱하면 모든 짝순열은 서로 다른 홀순열로, 또 그 반대로 바뀌어 완벽한 일대일 대응이 만들어집니다. 그래서 두 개수가 항상 같습니다.
n = 1일 때는 어떻게 되나요? 원소가 하나뿐이면 항등 순열만 존재하며, 이는 짝순열입니다. 공식 \(\frac{n!}{2} = \frac{1}{2}\)은 정수 연산에서 내림하여 0이 되므로, n = 1은 순수 수학적으로는 특수한 예외 사례라는 점을 알아 두세요.
입력값에 상한이 있나요? 있습니다. 계산을 빠르고 안정적으로 유지하기 위해 입력값은 100,000 이하의 양의 정수여야 합니다.
