¿Qué es la calculadora de permutaciones pares?
La calculadora de permutaciones pares te indica cuántas permutaciones pares existen para un conjunto de n elementos distintos. En teoría de grupos, una permutación es «par» cuando puede escribirse como producto de un número par de transposiciones (intercambios de dos elementos), e «impar» cuando necesita un número impar. Para cualquier conjunto con dos o más elementos, exactamente la mitad de todas las permutaciones son pares y la otra mitad impares. Esta herramienta calcula ese recuento al instante, junto con el total de permutaciones y el número de impares para darte contexto.
Cómo usarla
La calculadora tiene un único campo de entrada:
- Número de elementos (n): introduce un número entero positivo que represente el tamaño de tu conjunto. El valor debe ser 100.000 o menor.
Tras pulsar el botón, la herramienta devuelve el total de permutaciones (n!), el número de permutaciones pares y el número de permutaciones impares. Si introduces un número que no sea positivo, un valor superior a 100.000 o algo que no sea un entero, recibirás un mensaje de error claro en lugar del resultado.
La fórmula explicada
El número de permutaciones pares es:
$$E_n = \frac{n!}{2}$$
Aquí \(n!\) (n factorial) es el producto de todos los enteros desde 1 hasta n, que equivale al número total de maneras de ordenar n elementos distintos. Como las permutaciones pares e impares dividen el grupo simétrico exactamente por la mitad, basta con dividir el total entre 2 para obtener el recuento de las pares. La calculadora también obtiene las permutaciones impares como \(n! - (n!/2)\), que da el mismo valor y confirma ese reparto al 50 %. Internamente utiliza aritmética de enteros grandes (BigInteger), por lo que maneja factoriales enormes sin desbordamientos.
Ejemplo resuelto
Supongamos que n = 4. El total de permutaciones es \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). Las permutaciones pares son:
$$\frac{24}{2} = \textbf{12}$$
Así que un conjunto de 4 elementos tiene 12 permutaciones pares y 12 impares. Estas 12 permutaciones pares forman el grupo alternado A₄. Para n = 5, como \(5! = 120\), hay 60 permutaciones pares (el grupo A₅).
Preguntas frecuentes
¿Por qué el resultado es siempre exactamente la mitad de \(n!\)? Para cualquier \(n \geq 2\), multiplicar por una sola transposición convierte cada permutación par en una impar distinta, y viceversa, creando un emparejamiento perfecto uno a uno. Eso garantiza que ambos recuentos sean iguales.
¿Y el caso n = 1? Con un solo elemento solo existe la permutación identidad, que es par. La fórmula \(n!/2 = 1/2\) se redondea hacia abajo a 0 en aritmética entera, así que ten en cuenta que n = 1 es un caso límite especial dentro de las matemáticas puras.
¿Hay un valor máximo de entrada? Sí. Para que los cálculos sean rápidos y estables, la entrada debe ser un número entero positivo igual o inferior a 100.000.
