중복순열이란?
중복순열은 서로 다른 n개의 항목 중에서 골라 순서가 정해진 r개의 자리를 채우는 경우의 수를 세는 것으로, 같은 항목을 여러 번 사용할 수 있습니다. 기호로는 \({}^{n}\Pi_{r}\)로 표기합니다. 순서를 따지고 중복도 허용되므로, 각 자리는 n개의 항목 전체에서 독립적으로 선택됩니다. 이는 순수 수학 개념이라 어느 나라에서나 동일하게 적용됩니다.
공식
전체 배열의 수는 단순히 n을 r제곱한 값입니다.
$$ {}^{n}\Pi_{r} = \text{n}^{\,\text{r}} $$
이는 곱의 법칙에서 비롯됩니다. 첫 번째 자리에는 n가지 선택지가 있고, 두 번째 자리에도 (중복이 허용되므로) 마찬가지로 n가지가 있으며, 이런 식으로 r개의 자리가 모두 채워집니다. 따라서 \(n \times n \times \ldots \times n = n^{r}\)이 됩니다.
계산기 사용 방법
사용할 수 있는 서로 다른 항목의 개수 \(n\)과, 채울 자리의 수, 즉 각 순서열의 길이 \(r\)을 입력하세요. 두 값 모두 0 이상의 정수여야 합니다. 중복이 허용되므로 r이 n보다 클 수도 있습니다. 이 계산기는 임의 정밀도 연산을 사용해 정확한 정수 결과를 돌려주므로, 결과가 아주 큰 수라도 정확하게 표시됩니다.
예제 풀이
서로 다른 항목이 \(n = 5\)개이고 자리가 \(r = 3\)개일 때: $$ {}^{n}\Pi_{r} = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125 $$ 즉, 5개의 항목에서 중복을 허용해 길이 3인 순서열을 만드는 경우는 125가지입니다. 또 다른 예로 \(n = 2\), \(r = 10\)이면 \(2^{10} = 1024\)가 되는데, 이는 길이 10인 이진 문자열의 개수와 같습니다.
자주 묻는 질문
nPr과는 어떻게 다른가요? 중복을 허용하지 않는 일반 순열은 \({}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\) 공식을 쓰며, 각 항목을 최대 한 번만 사용합니다. 이 계산기는 중복을 허용하므로 \(n^{r}\)을 사용합니다.
r = 0이면 어떻게 되나요? \({}^{n}\Pi_{0} = n^{0} = 1\)이며, 이는 아무것도 배열하지 않은 단 하나의 빈 배열을 뜻합니다. 표준 조합론 관례에 따라 여기서는 \(0^{0} = 1\)로 봅니다.
n = 0이고 r ≥ 1이면 어떻게 되나요? 결과는 0입니다. 항목이 하나도 없는 빈 집합에서는 어떤 자리도 채울 수 없기 때문입니다.
