Calculateur de permutations avec répétition (nΠr = nʳ)

Résultats

Permutations avec répétition (nΠr)

125

arrangements ordonnés

Formule	nΠr = n^r
n (éléments distincts)	5
r (positions remplies)	3
Valeur approchée	125

Qu'est-ce qu'une permutation avec répétition ?

Une permutation avec répétition compte le nombre de façons de remplir r positions ordonnées en choisissant parmi n éléments distincts, sachant que chaque élément peut être utilisé plusieurs fois. On la note ${}^{n}\Pi_{r}$. Comme l'ordre compte et que les répétitions sont permises, chaque position constitue un choix indépendant parmi les n éléments. Il s'agit de mathématiques pures : le résultat est universel, quel que soit le pays.

Arbre des sélections ordonnées parmi n éléments où chaque élément peut se répéter — Chacune des r positions est remplie indépendamment parmi les n éléments, donc les éléments peuvent se répéter.

La formule

Le nombre total d'arrangements est tout simplement n élevé à la puissance r :

$${}^{n}\Pi_{r} = \text{n}^{\,\text{r}}$$

Cela découle du principe multiplicatif : la première position offre n possibilités, la deuxième en offre également n (répétition autorisée), et ainsi de suite pour les r positions, soit $n \times n \times \dots \times n = n^{r}$.

Suite de r cases, chacune avec n choix, multipliées entre elles — Avec n choix pour chacune des r positions, le total est n multiplié par lui-même r fois : $n^{r}$.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez n, le nombre d'éléments distincts disponibles, puis r, le nombre de positions à remplir (la longueur de chaque séquence ordonnée). Les deux valeurs doivent être des entiers positifs ou nuls. Comme la répétition est autorisée, r peut être supérieur à n. Le calculateur renvoie le nombre exact grâce à une arithmétique de précision arbitraire : même les résultats gigantesques s'affichent avec exactitude.

Exemple détaillé

Avec n = 5 éléments distincts et r = 3 positions : $${}^{n}\Pi_{r} = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125.$$ Il existe donc 125 séquences ordonnées de longueur 3 tirées de 5 éléments avec répétition. Autre exemple : n = 2 et r = 10 donnent $2^{10} = 1024$, soit le nombre de chaînes binaires de longueur 10.

FAQ

Quelle différence avec nPr ? Les permutations ordinaires sans répétition utilisent $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$, où chaque élément n'est employé qu'une seule fois au maximum. Cet outil autorise les répétitions et applique donc $n^{r}$.

Et si r = 0 ? ${}^{n}\Pi_{0} = n^{0} = 1$, soit l'unique arrangement vide. Selon la convention combinatoire usuelle, on a même $0^{0} = 1$ dans ce contexte.

Et si n = 0 et r ≥ 1 ? Le résultat est 0, car aucune position ne peut être remplie à partir d'un ensemble vide.

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