Ce que fait ce calculateur
Le calculateur de permutations avec répétition compte le nombre d'arrangements ordonnés que vous pouvez former lorsque la répétition est autorisée. Vous choisissez parmi n types d'objets pour remplir r positions et, comme chaque type peut être réutilisé, chaque position offre le même nombre de choix. Le résultat est tout simplement n élevé à la puissance r. Il s'agit de la règle de dénombrement classique pour des situations comme les codes PIN, les mots de passe, les lancers de dés ou les plaques d'immatriculation, où une même valeur peut apparaître plusieurs fois.
Les données à renseigner
- Nombre de types d'objets (n) : combien d'options distinctes sont disponibles pour chaque position — par exemple, 10 chiffres (0 à 9) ou 26 lettres.
- Nombre de positions à remplir (r) : combien d'emplacements vous devez compléter, comme les 4 chiffres d'un code PIN.
Les deux valeurs sont interprétées comme des nombres entiers. L'outil renvoie ensuite le nombre total de séquences ordonnées possibles.
La formule
Le calcul repose sur la règle des permutations avec répétition :
$$P(n, r) = n^{r}$$
Le raisonnement est simple : la première position peut accueillir l'un des n objets, la deuxième également l'un des n objets (la répétition étant autorisée), et ainsi de suite pour les r positions. En multipliant n par lui-même r fois, on obtient \(n^{r}\). Ici, l'ordre compte : « AB » et « BA » sont donc considérés comme deux arrangements différents.
Exemple concret
Supposons que vous vouliez dénombrer tous les codes PIN à 4 chiffres possibles. Il existe 10 types de chiffres (de 0 à 9), donc n = 10, et vous remplissez 4 positions, donc r = 4.
- \(P(10, 4) = 10^{4}\)
- \(= 10 \times 10 \times 10 \times 10\)
- = 10 000 codes PIN possibles (de 0000 à 9999).
Saisissez n = 10 et r = 4, et le calculateur affiche 10 000.
Questions fréquentes
En quoi cela diffère-t-il des permutations classiques ? Les permutations sans répétition utilisent la formule \(\frac{n!}{(n-r)!}\), car les objets ne peuvent pas se répéter. Avec répétition, chaque position dispose toujours de n choix, ce qui donne \(n^{r}\) et aboutit à un nombre plus élevé.
L'ordre compte-t-il dans ce calcul ? Oui. Chaque arrangement est traité comme une séquence ordonnée : les différents ordres d'un même ensemble d'objets sont donc comptés séparément. Si l'ordre n'avait pas d'importance, il faudrait recourir à la formule des combinaisons avec répétition.
r peut-il être supérieur à n ? Tout à fait. Comme les objets sont réutilisés, r peut dépasser n sans difficulté — par exemple, un code de 6 caractères formé à partir de 4 symboles donne \(4^{6} = 4096\) résultats.
