Calculateur de permutations avec répétition (n^r)

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Formule

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Empty sequence (r = 0)

There is exactly one ordered sequence of length zero, by convention, for any n (including 0^0 = 1).

Résultats

Permutations with Replacement P^R(n, r)

séquences ordonnées

n (objets)	4
r (tirage)	2
Formule	n^r

Qu'est-ce qu'une permutation avec répétition ?

Une permutation avec répétition compte le nombre de séquences ordonnées de longueur r que l'on peut former à partir d'un ensemble de n objets distincts lorsque (1) l'ordre des éléments compte et (2) chaque objet peut être choisi plusieurs fois. Imaginez un alphabet de n lettres : une permutation avec répétition de longueur r n'est rien d'autre qu'un « mot » de longueur r que vous pouvez écrire à partir de cet alphabet. Ce calculateur fournit ce dénombrement grâce à la formule $$P^{R}(n, r) = n^{r}.$$

Tirage d'éléments avec remise dans des positions ordonnées ; chaque position peut être n'importe lequel des éléments disponibles — Avec remise, chaque position ordonnée peut indépendamment être l'un des n éléments, puisque les tirages sont remis dans l'ensemble.

Comment utiliser le calculateur

Saisissez n, le nombre d'objets distincts disponibles (la population), et r, la longueur de la séquence ordonnée que vous souhaitez former. Les deux doivent être des entiers positifs ou nuls. Lancez le calcul pour obtenir le nombre total de séquences ordonnées possibles. Comme ce nombre croît de façon exponentielle, les résultats très grands s'affichent en notation scientifique.

La formule expliquée

Chacune des r positions de la séquence se remplit indépendamment, et comme la répétition est autorisée, chaque position peut prendre l'une quelconque des n valeurs. D'après le principe multiplicatif, le total vaut $n \times n \times ... \times n$ avec r facteurs, soit $n^{r}$. Cela diffère des permutations sans répétition, $P(n, r) = n! / (n - r)!$, où chaque objet ne peut être utilisé qu'une seule fois.

Chacune des r positions a n choix, multipliés pour donner n à la puissance r — Chacune des r positions offre indépendamment n choix, donc le total est n multiplié par lui-même r fois : n^r.

Exemple concret

Avec l'alphabet {a, b, c, d}, on a $n = 4$. Combien de paires ordonnées de longueur $r = 2$ peut-on former ? $$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16$$ : aa, ab, ac, ad, ba, bb, ... , dd. Pour une chaîne plus longue, $$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1\,099\,511\,627\,776 \approx 1{,}0995 \times 10^{12}.$$

Foire aux questions

Que se passe-t-il lorsque r = 0 ? $n^{0} = 1$ pour tout n : il existe exactement une séquence vide. Par convention, ce calculateur considère également $0^{0}$ comme égal à 1.

Et si n = 0 et r > 0 ? $0^{r} = 0$ : sans aucun objet à disposition, il n'existe aucune séquence non vide.

Quand l'utiliser plutôt que les combinaisons ? Utilisez les permutations avec répétition lorsque l'ordre compte et que les répétitions sont autorisées, par exemple pour les codes PIN, les séquences de lancers de dés ou les chaînes de caractères. Préférez les combinaisons lorsque l'ordre n'a pas d'importance.

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