Qu'est-ce que le triangle de Pascal ?
Le triangle de Pascal est un tableau triangulaire de nombres dans lequel chaque terme correspond à la somme des deux nombres situés juste au-dessus de lui. Les bords sont toujours composés de 1, et les valeurs intérieures se construisent à partir de là. Chaque terme est égal à un coefficient binomial, noté \(C(n, k)\) ou « k parmi n », qui compte le nombre de façons de choisir \(k\) éléments dans un ensemble en comptant \(n\). Le triangle commence à l'indice 0 : tout en haut se trouve la ligne 0 = {1}, puis la ligne 1 = {1, 1}, la ligne 2 = {1, 2, 1}, et ainsi de suite.
Comment utiliser ce calculateur
Sélectionnez un mode sous Affichage. Choisissez Un seul nombre pour calculer un terme isolé : saisissez l'indice de ligne n et l'indice de colonne k (tous deux à partir de 0, avec k compris entre 0 et n). Choisissez Ligne(s) pour générer le triangle complet et indiquez le Nombre de lignes — l'outil affiche alors chaque ligne, de 0 jusqu'à cette valeur, ainsi que la somme de chacune.
La formule expliquée
La forme close s'écrit $$C(n,k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$ Pour éviter de manipuler des factorielles gigantesques, le calculateur utilise la forme multiplicative \(C(n,k) = \prod_{i=1}^{k} \frac{n-k+i}{i}\), en bouclant sur la plus petite valeur entre \(k\) et \(n-k\) grâce à la symétrie \(C(n,k) = C(n,n-k)\). Le triangle lui-même se construit à l'aide de la relation de récurrence $$a(n,k) = a(n-1,k-1) + a(n-1,k),$$ qui ne nécessite que des additions.
Exemple détaillé
Pour \(n = 4\) et \(k = 2\) : $$C(4,2) = \frac{4!}{2!\,\cdot\,2!} = \frac{24}{4} = 6.$$ Ce résultat correspond bien au troisième nombre de la ligne 4 du triangle {1, 4, 6, 4, 1}. La somme de la ligne 4 vaut \(2^4 = 16\).
Applications
Développement du binôme : les coefficients de \((x + y)^n\) sont exactement ceux de la ligne \(n\). Par exemple, $$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.$$ Combinaisons : \(C(n,k)\) représente le nombre de façons de choisir \(k\) objets parmi \(n\). Probabilités : avec des issues binaires équiprobables, la ligne \(n\) totalise \(2^n\) résultats possibles, et \(C(n,k)/2^n\) donne la probabilité d'obtenir exactement \(k\) succès — par exemple, \(P(\text{exactement 1 face sur 3 lancers}) = C(3,1)/2^3 = 3/8 = 37{,}5\,\%\).
FAQ
Le triangle commence-t-il à l'indice 0 ? Oui. La ligne \(n\) et la colonne \(k\) débutent toutes deux à 0 : le 1 isolé au sommet correspond donc à la ligne 0, colonne 0.
Que se passe-t-il si k est supérieur à n ? Ce point se situe en dehors du triangle ; la valeur est alors 0 et le calculateur affiche un avertissement.
Pourquoi la somme de chaque ligne est-elle une puissance de 2 ? Parce que la somme de tous les \(C(n,k)\) pour \(k = 0..n\) est égale à \(2^n\), qui correspond aussi au nombre total de sous-ensembles d'un ensemble en comptant \(n\) éléments.
