पास्कल त्रिभुज क्या है?
पास्कल त्रिभुज संख्याओं की एक त्रिकोणीय व्यवस्था है, जिसमें हर प्रविष्टि अपने ठीक ऊपर मौजूद दो संख्याओं का योग होती है। दोनों किनारों पर हमेशा 1 रहता है, और भीतर की संख्याएँ इन्हीं से बनती जाती हैं। हर प्रविष्टि एक द्विपद गुणांक के बराबर होती है, जिसे \(C(n, k)\) या "n में से k चुनना" लिखा जाता है — यह बताता है कि \(n\) वस्तुओं के समूह में से \(k\) वस्तुएँ कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं। यह त्रिभुज 0 से गिना जाता है: सबसे ऊपर पंक्ति 0 = {1} है, पंक्ति 1 = {1, 1}, पंक्ति 2 = {1, 2, 1}, और इसी तरह आगे।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
दिखाएँ के अंतर्गत कोई एक मोड चुनें। किसी एक प्रविष्टि की गणना के लिए एक संख्या चुनें: पंक्ति सूचकांक n और स्तंभ सूचकांक k दर्ज करें (दोनों 0 से शुरू होते हैं, और \(k\) का मान 0 से \(n\) के बीच होना चाहिए)। पूरा त्रिभुज बनाने के लिए पंक्ति(याँ) चुनें और पंक्तियों की संख्या दर्ज करें — यह टूल 0 से लेकर उस मान तक की हर पंक्ति को छापता है, साथ ही हर पंक्ति का योग भी दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
इसका बंद रूप (closed form) है $$C(n,k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$ बहुत बड़े फैक्टोरियल से बचने के लिए कैलकुलेटर गुणात्मक रूप का उपयोग करता है, यानी \(C(n,k) = \prod (n-k+i)/i\) का गुणनफल, जहाँ \(i = 1..k\); और सममिति \(C(n,k) = C(n,n-k)\) के कारण यह \(k\) और \(n-k\) में से छोटे मान तक ही लूप चलाता है। त्रिभुज खुद पुनरावत्ति सूत्र $$a(n,k) = a(n-1,k-1) + a(n-1,k)$$ से बनता है, जिसमें केवल जोड़ की ज़रूरत पड़ती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(n = 4\), \(k = 2\): $$C(4,2) = \frac{4!}{2!\cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6$$ यह त्रिभुज की पंक्ति 4 {1, 4, 6, 4, 1} की तीसरी संख्या से मेल खाता है। पंक्ति 4 का योग \(2^4 = 16\) होता है।
उपयोग
द्विपद विस्तार: \((x + y)^n\) के गुणांक ठीक पंक्ति \(n\) के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, $$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$$ संयोजन: \(C(n,k)\) यह बताता है कि \(n\) में से \(k\) वस्तुएँ कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं। प्रायिकता: जब दो समान-संभावना वाले परिणाम हों, तो पंक्ति \(n\) का योग कुल \(2^n\) परिणामों के बराबर होता है, और \(C(n,k)/2^n\) ठीक \(k\) सफलताओं की संभावना होती है — जैसे, 3 बार सिक्का उछालने पर ठीक 1 बार चित आने की प्रायिकता \(P = C(3,1)/2^3 = 3/8 = 37.5\%\) होती है।
सामान्य प्रश्न
क्या यह त्रिभुज 0 से गिना जाता है? हाँ। पंक्ति \(n\) और स्तंभ \(k\) दोनों 0 से शुरू होते हैं, इसलिए सबसे ऊपर का अकेला 1 पंक्ति 0, स्तंभ 0 है।
अगर k का मान n से बड़ा हो तो? तब वह बिंदु त्रिभुज के बाहर पड़ता है, इसलिए उसका मान 0 होता है और कैलकुलेटर एक सूचना दिखा देता है।
हर पंक्ति का योग 2 की घात क्यों होता है? क्योंकि \(k = 0..n\) तक सभी \(C(n,k)\) का योग \(2^n\) होता है, जो \(n\) तत्वों वाले समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों की कुल संख्या भी है।
