Что такое треугольник Паскаля?
Треугольник Паскаля — это треугольный массив чисел, в котором каждый элемент равен сумме двух чисел, стоящих прямо над ним. По краям всегда стоят единицы, а числа внутри вырастают из них. Любой элемент треугольника — это биномиальный коэффициент, который записывают как \(C(n, k)\) или «число сочетаний из n по k»: он показывает, сколькими способами можно выбрать k объектов из набора в n элементов. Нумерация начинается с нуля: на самой вершине находится строка 0 = {1}, далее строка 1 = {1, 1}, строка 2 = {1, 2, 1} и так далее.
Как пользоваться калькулятором
Выберите режим в поле Показать. Вариант Одно число вычисляет отдельный элемент: укажите номер строки n и номер столбца k (оба отсчитываются с нуля, причём k должно быть от 0 до n). Вариант Строки строит весь треугольник: задайте Количество строк — калькулятор выведет все строки от нулевой до указанной, а также сумму каждой строки.
Разбор формулы
Замкнутая формула выглядит так: $$C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$ Чтобы не вычислять громоздкие факториалы, калькулятор использует мультипликативную форму \(C(n, k) = \prod_{i=1}^{k} \frac{n-k+i}{i}\), перебирая меньшее из чисел k и n−k — это возможно благодаря симметрии \(C(n, k) = C(n, n-k)\). Сам треугольник строится по рекуррентному соотношению $$a(n, k) = a(n-1, k-1) + a(n-1, k),$$ где нужны только сложения.
Разбор примера
Возьмём n = 4, k = 2: $$C(4, 2) = \frac{4!}{2!\,\cdot\,2!} = \frac{24}{4} = 6.$$ Это совпадает с третьим числом в строке 4 треугольника {1, 4, 6, 4, 1}. Сумма строки 4 равна \(2^4 = 16\).
Где это применяется
Разложение бинома: коэффициенты в формуле \((x + y)^n\) — это в точности строка n. Например, \((x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\). Сочетания: \(C(n, k)\) показывает, сколькими способами можно выбрать k объектов из n. Вероятность: при равновероятных двоичных исходах сумма строки n равна \(2^n\) — это общее число исходов, а \(C(n, k)/2^n\) даёт вероятность ровно k успехов. Например, \(P(\text{ровно 1 орёл при 3 бросках}) = C(3, 1)/2^3 = 3/8 = 37{,}5\%\).
Частые вопросы
Правда ли, что нумерация идёт с нуля? Да. И номер строки n, и номер столбца k начинаются с нуля, поэтому единственная единица на вершине — это строка 0, столбец 0.
Что будет, если k больше n? Такая точка лежит за пределами треугольника, поэтому значение равно 0, и калькулятор выводит соответствующее примечание.
Почему сумма каждой строки — это степень двойки? Потому что сумма всех \(C(n, k)\) при k = 0..n равна \(2^n\). Это же число равно количеству всех подмножеств множества из n элементов.
