이 계산기로 무엇을 할 수 있나요?
중복조합 계산기는 서로 다른 n가지 종류 중에서 r개를 고를 때, 같은 종류를 여러 번 선택할 수 있고 순서는 따지지 않는 경우의 수를 계산합니다. 이는 조합론과 확률에서 자주 쓰이는 핵심 공식으로, 흔히 "별과 막대(stars and bars)" 문제라고도 불립니다. 같은 종류를 여러 번 뽑을 수 있기 때문에, 중복을 허용하지 않는 일반 조합보다 경우의 수가 더 많아집니다.
입력하는 값
- 항목 종류의 총 개수 (n): 선택할 수 있는 서로 다른 종류가 몇 가지인지 — 예를 들어 아이스크림 맛 3가지를 말합니다.
- 선택할 항목 개수 (r): 총 몇 개를 고르는지를 뜻하며, 같은 종류를 반복해서 선택할 수 있습니다.
두 값을 모두 자연수로 입력하면, 계산기가 즉시 하나의 결과를 보여줍니다. 바로 서로 다른 다중집합(중복을 허용한 순서 없는 선택)의 개수입니다.
공식
이 계산기는 표준 중복조합 공식을 적용합니다.
$$C^{R}(n,r) = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$
내부적으로는 \((n + r - 1)!\), \(r!\), \((n - 1)!\) 세 가지 팩토리얼을 계산한 뒤 위와 같이 나눕니다. 정확한 팩토리얼과 정수 연산을 사용하므로, 결과는 근삿값이 아니라 정확한 정수 값으로 나옵니다.
예제로 이해하기
어떤 아이스크림 가게에 맛이 n = 3가지 있고, r = 2스쿱을 담은 컵을 주문하려 하는데 같은 맛을 두 번 담아도 된다고 해봅시다. n = 3, r = 2를 넣어 계산하면 다음과 같습니다.
- $$n + r - 1 = 3 + 2 - 1 = 4$$
- $$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \mathbf{6}$$
따라서 두 스쿱으로 만들 수 있는 컵은 AA, BB, CC, AB, AC, BC로 모두 6가지입니다. 계산기는 즉시 6을 보여줍니다.
자주 묻는 질문
일반 조합과는 어떻게 다른가요? 일반 조합 \(C(n, r)\)은 중복을 허용하지 않아, 각 항목을 최대 한 번만 고를 수 있습니다. 반면 중복조합은 같은 종류를 여러 번 고를 수 있기 때문에 \(C(n + r - 1, r)\) 공식을 사용합니다.
여기서 순서가 중요한가요? 아니요. AB와 BA는 같은 선택으로 봅니다. 순서가 중요하다면 조합이 아니라 순열을 사용해야 합니다.
r이 n보다 클 수 있나요? 가능합니다. 중복이 허용되므로 종류 수보다 더 많은 항목을 고를 수 있습니다. 예를 들어 맛 3가지에서 5스쿱을 고르는 것도 전혀 문제가 없으며, 경우의 수는 더 커집니다.
