중복순열이란?
중복순열(반복을 허용하는 순열)은 한 번 뽑은 항목을 다시 원래 자리에 되돌려 놓은 뒤 다음 것을 뽑을 때 만들 수 있는, 순서를 고려한 배열의 개수를 세는 것입니다. 같은 항목을 반복해서 뽑을 수 있고 순서가 의미를 갖기 때문에, \(r\)개의 모든 자리에는 언제나 \(n\)개의 선택지가 그대로 주어집니다. 따라서 전체 배열의 수는 다음과 같습니다.
$$P = n^r$$
계산기 사용 방법
두 가지 값을 입력하세요. n은 사용할 수 있는 서로 다른 항목의 개수이고, r은 채우려는 자리(뽑는 횟수)의 수입니다. 계산기는 n을 r제곱한 값을 즉시 계산해 가능한 순서 있는 배열의 총 개수를 보여 줍니다.
공식 풀이
이 규칙은 곱의 법칙(경우의 수의 곱셈 원리)에서 나옵니다. 첫 번째 자리에는 n개의 선택지가 있고, 뽑은 항목을 다시 되돌려 놓기 때문에 두 번째 자리에도 다시 n개의 선택지가 있으며, r개의 모든 자리에서 이 과정이 반복됩니다. 이를 모두 곱하면 \(n \times n \times \dots \times n\) (r번) \(= n^r\) 이 됩니다. 이는 매번 선택할 때마다 남은 항목이 줄어드는 중복을 허용하지 않는 순열과는 다른 점입니다.
예제로 보기
4자리 PIN 번호는 0~9의 숫자를 사용하며 숫자가 반복될 수 있습니다. 여기서 \(n = 10\), \(r = 4\) 이므로 $$P = 10^4 = 10{,}000$$ 가지의 PIN이 가능합니다. 마찬가지로 소문자 알파벳 26개에서 중복을 허용해 만든 3자리 비밀번호는 \(26^3 = 17{,}576\) 가지의 경우의 수를 가집니다.
자주 묻는 질문
조합과는 어떻게 다른가요? 조합은 순서를 따지지 않지만, 순열은 순서를 구분합니다. "AB"와 "BA"는 서로 다른 순열이지만 조합으로는 같은 것으로 봅니다.
r이 n보다 크면 어떻게 되나요? 중복순열에서는 전혀 문제가 없습니다. 각 항목을 몇 번이고 다시 사용할 수 있으므로 서로 다른 항목의 수보다 더 많이 뽑을 수 있습니다. 예를 들어 \(2^5 = 32\)가 됩니다.
\(n^0\)은 얼마인가요? 0이 아닌 어떤 n이든 0제곱하면 1입니다. 아무것도 고르지 않는 방법(빈 배열)은 정확히 한 가지뿐이기 때문입니다.
