순열·조합 계산기란?
이 계산기는 서로 다른 n개의 항목에서 r개를 배열하거나 선택하는 경우의 수를 구해 줍니다. 순열은 순서를 따지는 배열의 수를, 조합은 순서를 따지지 않는 선택의 수를 세는 개념입니다. 두 가지 모두 확률, 통계, 경우의 수(조합론)에서 가장 기본이 되는 개념입니다.
사용 방법
전체 항목 수 n과 뽑고 싶은 개수 r(단, \(r \le n\))을 입력하세요. 그러면 \(P(n, r)\)과 \(C(n, r)\) 값이 곧바로 표시됩니다. 예를 들어 5명 중에서 3명으로 위원회를 구성하는 것은 조합이고, 5명의 참가자에게 순위가 있는 상 3개를 배정하는 것은 순열입니다.
공식 풀이
순열 공식은 다음과 같으며, 순서가 중요한 배열의 수를 셉니다.
$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$조합 공식은 다음과 같으며, 뽑은 그룹을 다시 나열할 수 있는 \(r!\)가지 경우를 나눠서 제외한 것입니다.
$$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$순서를 무시하기 때문에 \(C(n, r)\)은 항상 \(P(n, r)\)보다 작거나 같습니다.
예제로 살펴보기
\(n = 5\), \(r = 3\) 이라고 해 봅시다. 그러면 다음과 같이 60가지의 순서 있는 배열이 나옵니다.
$$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$$여기서 \(3! = 6\) 으로 나누면 다음과 같이 10가지의 순서 없는 선택이 됩니다.
$$C(5, 3) = \frac{60}{6} = 10$$즉, 5명의 달리기 선수에게 금·은·동메달을 수여하는 방법은 60가지이지만, 그중 3명을 팀으로 뽑는 방법은 10가지뿐입니다.
자주 묻는 질문
r이 n보다 크면 어떻게 되나요? 존재하는 항목보다 더 많이 뽑을 수는 없으므로 두 결과 모두 0이 됩니다.
0!은 얼마인가요? 정의상 \(0! = 1\) 이므로 \(C(n, 0) = 1\), \(P(n, 0) = 1\) 입니다.
큰 값을 넣으면 왜 정확도가 떨어지나요? 팩토리얼은 매우 빠르게 커지기 때문에, 유효 숫자 약 15자리를 넘어서는 결과는 부동소수점 근삿값으로 표시됩니다.
