ما هي حاسبة التباديل والتوافيق؟
تحسب هذه الأداة عدد الطرق الممكنة لترتيب أو اختيار r عنصرًا من مجموعة تضم n عنصرًا متمايزًا. التبديل (التوزيعة) يحسب الترتيبات التي يهمّ فيها التسلسل، بينما يحسب التوافيق الاختيارات التي لا يهمّ فيها الترتيب. وكلا المفهومين من ركائز علم الاحتمالات والإحصاء والتوافيقيات.
كيفية الاستخدام
أدخل العدد الكلي للعناصر n ثم عدد العناصر التي تريد اختيارها r (بشرط أن يكون \(r \le n\)). تعرض الحاسبة على الفور قيمتي \(P(n, r)\) و \(C(n, r)\). على سبيل المثال، اختيار لجنة من 3 أشخاص من بين 5 هو توافيق، أما توزيع 3 جوائز مرتّبة على 5 متسابقين فهو تباديل لأن الترتيب مهمّ.
شرح القانون
قانون التباديل هو $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$ وهو يحسب الترتيبات التي يكون فيها التسلسل مهمًّا. أما قانون التوافيق فهو $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ حيث نقسم على \(r!\) لاستبعاد عدد طرق إعادة ترتيب المجموعة المختارة. ولأن الترتيب يُهمَل هنا، فإن \(C(n, r)\) تكون دائمًا أصغر من أو تساوي \(P(n, r)\).
مثال محلول
لنفترض أن \(n = 5\) و \(r = 3\). عندئذٍ $$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$$ ترتيبًا مختلفًا. وبقسمة الناتج على \(3! = 6\) نحصل على $$C(5, 3) = \frac{60}{6} = 10$$ اختيارات غير مرتّبة. أي أن هناك 60 طريقة لمنح الميداليات الذهبية والفضية والبرونزية بين 5 عدّائين، بينما لا توجد سوى 10 طرق لاختيار 3 منهم لتكوين فريق.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت r أكبر من n؟ لا يمكنك اختيار عدد من العناصر يفوق العدد المتاح، لذا تكون النتيجتان كلتاهما صفرًا.
كم تساوي العاملي 0! ؟ بحسب التعريف فإن \(0! = 1\)، وبالتالي \(C(n, 0) = 1\) و \(P(n, 0) = 1\).
لماذا تفقد المدخلات الكبيرة دقّتها؟ تنمو قيم العاملي (المضروب) بسرعة هائلة، لذا تصبح النتائج التي تتجاوز نحو 15 رقمًا معنويًا قيمًا تقريبية بصيغة الفاصلة العائمة.
