排列組合計算機

輸入計算

項目總數 (n)

挑選數量 (r)

結果

排列數 P(n, r)

60

有順序的排列方式

組合數 C(n, r)	10
n（項目總數）	5
r（挑選數量）	3

什麼是排列組合計算機？

這個工具能計算從 n 個相異項目中，挑出 r 個並加以排列或選取的方法數。所謂排列（Permutation）會考慮先後順序，組合（Combination）則不在乎順序。這兩個概念是機率、統計與組合數學的基礎。

使用方法

輸入項目總數 n 與要挑選的數量 r（須滿足 \(r \le n\)），計算機就會同時回傳 \(P(n, r)\) 與 \(C(n, r)\)。舉例來說，從 5 個人當中選出 3 人組成委員會屬於「組合」；若要在 5 位參賽者中頒發 3 個有名次之分的獎項，則是「排列」。

公式解析

排列公式為 $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$用來計算順序有差別的排列方式。組合公式為 $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$等於把所選群組可重新排序的 \(r!\) 種方式除掉。由於組合忽略順序，因此 \(C(n, r)\) 永遠小於或等於 \(P(n, r)\)。

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展示從3個元素中有序選取2個的6種方式的選擇樹。

排列計算有序的排列方式，組合計算無序的選取方式。

實例演算

設 \(n = 5\)、\(r = 3\)。則 $$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$$種有順序的排列。再除以 \(3! = 6\)，得到 $$C(5, 3) = \frac{60}{6} = 10$$種不分順序的選取方式。換句話說，要在 5 名跑者中頒發金、銀、銅牌共有 60 種方式；但若只是從中挑 3 人組隊，則只有 10 種方式。

常見問題

如果 r 大於 n 會怎樣？你無法挑出比現有數量還多的項目，因此兩個結果都會是 0。

0! 等於多少？依定義 \(0! = 1\)，所以 \(C(n, 0) = 1\)、\(P(n, 0) = 1\)。

為什麼數值太大時會失準？階乘的成長速度極快，超過約 15 位有效數字後，結果便是浮點數的近似值。