重複組合計算器

輸入計算

元素種類數 (n)

選取數量 (r)

結果

重複組合

35

種不同的多重集合

元素種類 (n)	5
選取元素 (r)	3
公式	C(n+r-1, r)

什麼是重複組合？

重複組合（又稱多重集合組合）是指從 n 種不同的元素中，在允許重複、且不考慮選取順序的前提下，選出 r 個元素的方法總數。與一般組合不同的是，同一個元素可以被選取超過一次。本計算器採用多重集合公式 \(C(n+r-1, r)\) 來計算這個數量。

可重複組合允許多次選取同一種元素，且不考慮順序。

如何使用本計算器

輸入不同元素的種類數 n（例如 5 種口味的冰淇淋），以及你想選取的數量 r（例如挖 3 球）。本工具會回傳不同多重集合的數量——也就是只看「出現哪些種類」與「各出現幾次」、而忽略順序的選法總數。

公式解析

計算結果為 $$C(n + r - 1, r) = \frac{(n + r - 1)!}{r! \cdot (n - 1)!}$$ 直觀理解可借用「隔板法（stars and bars）」模型：將 \(r\) 顆相同的星星放進由 \(n-1\) 條隔板所分隔出的 \(n\) 個盒子中，每一種排法都對應一種選法。為了避免階乘運算溢位，本計算器以連乘的方式來計算二項式係數。

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隔板法將每種選取對應為 r 個星號和 n-1 個隔板。

實例演算

假設一家冰淇淋店提供 \(n = 5\) 種口味，而你想要一碗 \(r = 3\) 球、且允許重複的冰淇淋。那麼 $$C(5+3-1, 3) = C(7, 3) = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = 35$$ 也就是說，你總共可以組合出 35 種不同的冰淇淋碗。

常見問題

這和一般組合有什麼不同？ 一般組合 \(C(n, r)\) 不允許重複；而在重複組合中，同一種元素可以被選取多次。

r 可以大於 n 嗎？ 可以。由於允許重複，\(r\) 是可以超過 \(n\) 的——例如從 3 種口味中選 10 球，這完全合理。

如果 r 等於 0 會怎樣？ 什麼都不選恰好只有 1 種方法（即空的多重集合），所以結果為 1。