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輸入計算

數學公式

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結果

混合後濃度 C
15.2
質量百分比(%)
A 中的鹽量 36 g
B 中的鹽量 40 g
C 的總鹽量 76 g
食鹽水 C(總質量) 500 g

這個計算機能做什麼

當你把兩杯不同濃度的食鹽水倒在一起時,兩邊的鹽會合而為一,質量也會相加。這個工具能幫你算出每杯食鹽水各含多少鹽、混合後的總鹽量、總質量,以及混合後的最終濃度。這正是國高中數學裡常見的「濃度應用題」(在日本數學中稱為「濃度算(nodozan)」),不過背後的計算原理是通用的,適用於任何兩種可互溶、且濃度定義為「溶質質量÷總質量」的溶液。

使用方法

先輸入食鹽水 A 的質量(公克)與濃度(百分比),接著對食鹽水 B 做同樣的設定。計算機會回傳每杯食鹽水中的含鹽量、合計鹽量、合計質量,以及最終濃度。所有質量單位皆為公克,所有濃度皆為質量百分比,因此無須選擇單位。

公式解析

一杯溶液中的含鹽量,等於它的質量乘以以小數表示的濃度:鹽量=質量 ×(百分比 ÷ 100)。把兩杯的鹽量相加,再除以合計質量,最後乘以 100 換算回百分比即可。從代數的角度來看,這其實就是兩個濃度的「質量加權平均」,所以算出來的結果一定會落在較低與較高的輸入濃度之間。

$$C_{C} = \frac{\text{Mass A} \cdot \frac{\text{Conc. A}}{100} + \text{Mass B} \cdot \frac{\text{Conc. B}}{100}}{\text{Mass A} + \text{Mass B}} \times 100$$

兩杯鹽溶液倒入一個結果燒杯,標有質量和濃度符號
混合兩種鹽溶液:結果是兩種濃度按質量加權的平均值。

實際範例

將 300 g 濃度 12% 的食鹽水,與 200 g 濃度 20% 的食鹽水混合。A 的鹽量=\(300 \times 0.12 = 36\) g;B 的鹽量=\(200 \times 0.20 = 40\) g。總鹽量=76 g,總質量=500 g。濃度 C=\(76 \div 500 \times 100 = 15.2\)% 15.2%。也就是說,混合後得到 500 g、濃度 15.2% 的食鹽水,其中含有 76 g 的鹽。

加權平均長條圖,顯示結果濃度位於兩個輸入濃度之間
最終濃度介於兩個輸入值之間,偏向質量較大的一方。

常見問題

為什麼結果一定介於兩個濃度之間?因為這是一種加權平均——混合永遠不可能產生超出原料濃度範圍的濃度。

這也能用在酒精或其他液體上嗎?只要濃度是以質量分率定義,計算原理都適用。不過若是酒精的「體積百分比」,就必須考慮不同液體的密度差異(乙醇約為 0.8 g/mL),而這個單純以質量為基礎的模型並未納入此項。

如果兩邊的質量都是 0 呢?此時濃度無從定義,因此計算機會回傳 0,而不會出現除以零的錯誤。

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