रिप्लेसमेंट के साथ कॉम्बिनेशन क्या होता है?
रिप्लेसमेंट के साथ कॉम्बिनेशन (जिसे मल्टीसेट कॉम्बिनेशन भी कहते हैं) यह गिनता है कि n अलग-अलग प्रकारों में से r आइटम कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं, जब दोहराव की अनुमति हो और चुनने का क्रम मायने न रखता हो। साधारण कॉम्बिनेशन से अलग, यहाँ एक ही आइटम को एक से ज़्यादा बार चुना जा सकता है। यह कैलकुलेटर इस संख्या को मल्टीसेट फ़ॉर्मूला \(C(n+r-1, r)\) से निकालता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अलग-अलग प्रकारों की संख्या n भरें (उदाहरण के लिए, आइसक्रीम के 5 फ़्लेवर) और जितने आइटम आप चुनना चाहते हैं वह संख्या r भरें (उदाहरण के लिए, 3 स्कूप)। यह टूल अलग-अलग मल्टीसेट की संख्या लौटाता है — यानी ऐसी चुनावें जो सिर्फ़ इसमें फ़र्क करती हैं कि कौन-कौन से प्रकार आए और कितनी बार आए, क्रम को नज़रअंदाज़ करते हुए।
फ़ॉर्मूला को समझें
नतीजा इस तरह निकलता है:
$$\overline{C}(n,r) = \binom{n+r-1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$इसे समझने का आसान तरीका "स्टार्स एंड बार्स" मॉडल है: r एक जैसे तारों (स्टार्स) को n खानों में रखें, जिन्हें n−1 छड़ें (बार्स) अलग करती हैं; हर व्यवस्था एक चुनाव को दर्शाती है। फ़ैक्टोरियल के ओवरफ़्लो से बचने के लिए, यह कैलकुलेटर बाइनोमियल गुणांक को गुणन के ज़रिए हल करता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए कोई आइसक्रीम शॉप n = 5 फ़्लेवर देती है और आप r = 3 स्कूप का एक कटोरा चाहते हैं, जिसमें दोहराव की अनुमति है। तब
$$C(5+3-1, 3) = C(7, 3) = \frac{7!}{3!\cdot 4!} = 35$$यानी आप कुल 35 अलग-अलग कटोरे बना सकते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
यह साधारण कॉम्बिनेशन से कैसे अलग है? साधारण कॉम्बिनेशन \(C(n, r)\) में दोहराव मना होता है; यहाँ एक ही प्रकार को कई बार चुना जा सकता है।
क्या r, n से बड़ा हो सकता है? हाँ। चूँकि दोहराव की अनुमति है, इसलिए r, n से बड़ा हो सकता है — जैसे 3 फ़्लेवर में से 10 स्कूप चुनना पूरी तरह मान्य है।
अगर r शून्य (0) हो तो? कुछ भी न चुनने का ठीक 1 ही तरीका होता है (खाली मल्टीसेट), इसलिए नतीजा 1 आता है।
