Qu'est-ce qu'une combinaison avec répétition ?
Une combinaison avec répétition (aussi appelée combinaison de multiensemble) compte le nombre de façons de choisir r éléments parmi n types distincts lorsque les répétitions sont autorisées et que l'ordre de sélection n'a pas d'importance. Contrairement aux combinaisons classiques, un même élément peut être sélectionné plusieurs fois. Ce calculateur détermine ce nombre à l'aide de la formule des multiensembles \(C(n+r-1, r)\).
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez le nombre de types distincts n (par exemple, 5 parfums de glace) et le nombre d'éléments que vous souhaitez choisir r (par exemple, 3 boules à servir). L'outil affiche le nombre de multiensembles distincts — c'est-à-dire les sélections qui ne diffèrent que par les types présents et leur fréquence, sans tenir compte de l'ordre.
La formule expliquée
Le résultat est donné par
$$\overline{C}(n,r) = \binom{n+r-1}{r} = \frac{\left(n + r - 1\right)!}{r!\,\left(n - 1\right)!}$$L'intuition repose sur le modèle des « étoiles et barres » : on place r étoiles identiques dans n cases séparées par n−1 barres ; chaque disposition correspond à une sélection. Pour éviter tout dépassement lié aux factorielles, ce calculateur évalue le coefficient binomial de manière multiplicative.
Exemple concret
Imaginons qu'un glacier propose n = 5 parfums et que vous vouliez composer une coupe de r = 3 boules, répétitions autorisées. On a alors
$$\overline{C}(5+3-1, 3) = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!\cdot 4!} = 35$$Il existe donc 35 coupes différentes possibles.
FAQ
En quoi est-ce différent d'une combinaison classique ? Une combinaison classique \(C(n, r)\) interdit les répétitions ; ici, un même type peut être choisi plusieurs fois.
r peut-il être plus grand que n ? Oui. Comme les répétitions sont autorisées, r peut dépasser n — par exemple, choisir 10 boules parmi 3 parfums est tout à fait valable.
Que se passe-t-il si r vaut 0 ? Ne rien choisir donne exactement 1 possibilité (le multiensemble vide) : le résultat est donc 1.
