Qu'est-ce qu'une combinaison ?
Une combinaison compte le nombre de façons de sélectionner un groupe d'éléments au sein d'un ensemble plus vaste lorsque l'ordre de sélection n'a aucune importance. Choisir des pommes, des bananes et des cerises revient exactement à choisir des cerises, des pommes et des bananes : c'est la même combinaison. On la note \(C(n, r)\), « n parmi r », ou encore coefficient binomial. Ce calculateur fonctionne avec n'importe quels entiers et s'applique partout : il s'agit de mathématiques pures, sans aucune hypothèse liée à un pays particulier.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre total d'éléments disponibles dans le champ n et le nombre d'éléments que vous souhaitez choisir dans le champ r. L'outil affiche le nombre de combinaisons distinctes et, en prime, le nombre d'arrangements \(P(n, r)\), c'est-à-dire les cas où l'ordre compte. Si \(r\) est supérieur à \(n\), le résultat vaut zéro : il est impossible de choisir plus d'éléments qu'il n'en existe.
La formule expliquée
La formule des combinaisons s'écrit $$C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!},$$ où « ! » désigne la factorielle. Le numérateur \(n!\) compte tous les ordres possibles de l'ensemble complet ; la division par \((n - r)!\) élimine les éléments que vous n'avez pas retenus ; et la division par \(r!\) supprime les ordres répétés des éléments choisis — il ne reste alors que les groupes uniques. Pour éviter de manipuler d'énormes factorielles, ce calculateur multiplie le rapport terme à terme, ce qui garantit une meilleure stabilité numérique.
Exemple concret
Combien de mains de 5 cartes peut-on tirer d'un jeu de 52 cartes au poker ? Ici, \(n = 52\) et \(r = 5\). $$C(52, 5) = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{311\,875\,200}{120} = 2\,598\,960$$ 2 598 960 mains possibles.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une combinaison et un arrangement ? Un arrangement (ou permutation) tient compte de l'ordre, tandis qu'une combinaison l'ignore. Le nombre d'arrangements est toujours supérieur ou égal au nombre de combinaisons.
Que vaut \(C(n, 0)\) ? Il vaut 1 : il existe exactement une seule façon de ne rien choisir (l'ensemble vide).
Pourquoi a-t-on \(C(n, r) = C(n, n - r)\) ? Choisir les \(r\) éléments à inclure revient à choisir les \(n - r\) éléments à exclure : les deux décomptes sont donc identiques.
