Calculateur de série au pile ou face

Entrez le calcul

Nombre de lancers (n)

Longueur de la série (k)

Probabilité d'une face (p)

Formule

Show calculation steps (2)

1. All Flips the Same (Single Long Streak)

   

   Probability that a specific run of k flips all land on the chosen side: p raised to the power k. p = prob, k = streak.

2. Expected Number of Streaks

   

   Expected count of runs of length k in n flips (valid when n >= k). p = prob, q = 1 - p, n = flips, k = streak.

Résultats

Probabilité d'au moins une série de k sur n lancers

50,78%

probability 0,507812

Probabilité que k lancers d'affilée tombent tous sur cette face (p^k)	12,5%
p^k (probabilité brute)	0,125
Nombre attendu de séries de longueur k	0,625

Qu'est-ce que le calculateur de série au pile ou face ?

Cet outil vous indique la probabilité d'observer une série (ou suite) de k résultats identiques quelque part au cours de n lancers de pièce. Il fonctionne aussi bien avec une pièce équilibrée (\(p = 0{,}5\)) qu'avec une pièce truquée, où l'une des faces apparaît avec une probabilité \(p\). Il calcule également la probabilité de base qu'un bloc précis de \(k\) lancers tombe tous du même côté, ainsi que le nombre de séries attendu.

Comment l'utiliser

Saisissez le nombre de lancers (\(n\)), la longueur de série qui vous intéresse (\(k\)) et la probabilité \(p\) de la face que vous suivez. Le calculateur vous renvoie la probabilité d'observer au moins une série de longueur \(k\) ou plus, la probabilité simple \(p^{k}\), ainsi qu'une estimation du nombre de séries à prévoir.

La formule expliquée

La probabilité que \(k\) lancers consécutifs tombent tous sur la face choisie vaut tout simplement \(p^{k}\). La question plus délicate — la probabilité d'au moins une série de longueur \(k\) n'importe où parmi \(n\) lancers — se résout de façon exacte grâce à un algorithme de programmation dynamique. Celui-ci suit le nombre actuel de lancers identiques consécutifs ainsi qu'un état absorbant « série atteinte ». À chaque lancer, la série se prolonge (probabilité \(p\)) ou se réinitialise (probabilité \(1-p\)).

$$P(\text{run} \ge k) = 1 - Q(n)$$ $$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} k &= \text{Longueur de série} \\ p &= \text{Probabilité} \\ q &= 1 - p \end{aligned} \right.$$

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Une série (run) est la plus longue suite de lancers de pièce identiques consécutifs.

Exemple concret

Pour une pièce équilibrée (\(p = 0{,}5\)), avec \(k = 3\) et \(n = 5\) : $$p^{k} = 0{,}5^{3} = 0{,}125 \ (12{,}5\,\%)$$ La probabilité exacte d'obtenir au moins une série de 3 piles sur 5 lancers s'élève à \(0{,}25\) (\(25\,\%\)).

La probabilité de \(k\) lancers identiques d'affilée multiplie la probabilité par lancer : \(p^{k}\).

FAQ

Que se passe-t-il si \(k\) est supérieur à \(n\) ? Une série de \(k\) ne peut pas tenir, la probabilité est donc nulle (0).

Les séries qui se chevauchent sont-elles comptées ? La probabilité de série correspond à « au moins une série de longueur \(k\) ou plus » ; le nombre de séries attendu est, lui, un décompte approximatif des séries distinctes.

Puis-je utiliser une pièce truquée ? Oui — il suffit de fixer \(p\) à n'importe quelle valeur comprise entre 0 et 1 pour la face que vous suivez.