Калькулятор серий при подбрасывании монеты

Введите расчет

Число бросков (n)

Длина серии (k)

Вероятность одной стороны (p)

Математическая формула

Show calculation steps (2)

1. All Flips the Same (Single Long Streak)

   

   Probability that a specific run of k flips all land on the chosen side: p raised to the power k. p = prob, k = streak.

2. Expected Number of Streaks

   

   Expected count of runs of length k in n flips (valid when n >= k). p = prob, q = 1 - p, n = flips, k = streak.

Результатов

Вероятность хотя бы одной серии из k за n бросков

50,78%

probability 0,507812

Вероятность, что k бросков подряд выпадут этой стороной (p^k)	12,5%
p^k (базовая вероятность)	0,125
Ожидаемое число серий длиной k	0,625

Что такое калькулятор серий при подбрасывании монеты?

Этот инструмент показывает, насколько вероятно встретить серию (последовательность подряд) из k одинаковых выпадений где-нибудь среди n бросков монеты. Он работает как для честной монеты (\(p = 0{,}5\)), так и для любой несимметричной, когда одна из сторон выпадает с вероятностью \(p\). Кроме того, калькулятор показывает базовую вероятность того, что конкретный блок из \(k\) бросков выпадет одной и той же стороной, и ожидаемое число таких серий.

Как пользоваться

Укажите число бросков (\(n\)), интересующую вас длину серии (\(k\)) и вероятность \(p\) той стороны, которую вы отслеживаете. Калькулятор выдаст вероятность увидеть хотя бы одну серию длиной \(k\) или больше, простую вероятность \(p^k\) и оценку того, сколько серий стоит ожидать.

Разбор формулы

Вероятность того, что \(k\) бросков подряд выпадут выбранной стороной, равна просто \(p^{k}\). Более сложный вопрос — вероятность хотя бы одной серии длиной \(k\) где-либо среди \(n\) бросков — решается точно с помощью динамического программирования: оно отслеживает текущее количество идущих подряд совпадений и поглощающее состояние «серия достигнута». Каждый бросок либо продлевает серию (с вероятностью \(p\)), либо обнуляет её (с вероятностью \(1-p\)).

$$\begin{gathered} P(\text{run} \ge k) = 1 - Q(n) \\[1.2em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} k &= \text{Streak length} \\ p &= \text{Probability} \\ q &= 1 - p \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

Реклама

Серия (run) — это максимальная последовательность одинаковых подряд идущих подбрасываний монеты.

Пример расчёта

Для честной монеты (\(p = 0{,}5\)), \(k = 3\), \(n = 5\): \(p^k = 0{,}5^3 = 0{,}125\) (12,5%). Точная вероятность хотя бы одной серии из 3 «орлов» за 5 бросков составляет 0,25 (25%).

$$P(\text{all }k) = p^{\,k}$$

Вероятность \(k\) одинаковых бросков подряд равна произведению вероятностей каждого броска: \(p^k\).

Частые вопросы

Что если \(k\) больше \(n\)? Серия длиной \(k\) попросту не помещается, поэтому вероятность равна 0.

Учитываются ли перекрывающиеся серии? Вероятность серии — это «хотя бы одна серия длиной \(k\) или больше»; показатель ожидаемого числа серий — это приблизительный подсчёт отдельных серий. \(E[\text{runs}] = p^{\,k}\big( (1-p)\,(n - k + 1) + 1 \big)\)

Можно ли использовать несимметричную монету? Да — задайте \(p\) любым значением от 0 до 1 для той стороны, которую вы отслеживаете.