擲硬幣連續計算器

數學公式

Show calculation steps (2)

All Flips the Same (Single Long Streak)

Probability that a specific run of k flips all land on the chosen side: p raised to the power k. p = prob, k = streak.
Expected Number of Streaks

Expected count of runs of length k in n flips (valid when n >= k). p = prob, q = 1 - p, n = flips, k = streak.

結果

n 次擲幣中至少出現一次 k 連續的機率

50.78%

probability 0.507812

連續 k 次都落在這一面的機率（p^k）	12.5%
p^k（基本機率）	0.125
長度為 k 連續的預期次數	0.625

什麼是擲硬幣連續計算器？

這個工具能告訴你，在總共 n 次的擲硬幣中，出現 k 次相同結果連續（連莊）的可能性有多高。它適用於公平硬幣（$p = 0.5$），也適用於任何一面出現機率為 $p$ 的不公平硬幣。此外，它還會計算指定一段 $k$ 次擲幣全部落在同一面的基本機率，以及這類連續出現的預期次數。

使用方式

輸入擲幣次數（$n$）、你想觀察的連續長度（$k$），以及你所追蹤那一面的出現機率 $p$。計算器會回傳：至少出現一次長度達 $k$（或以上）連續的機率、單純的 $p^k$ 機率，以及預期會出現多少次連續的估計值。

公式說明

連續 $k$ 次都落在指定那一面的機率，就是 $p^{k}$。比較困難的問題——也就是在 $n$ 次擲幣中任何位置至少出現一次長度為 $k$ 連續的機率——則透過動態規劃（dynamic programming）精確求解：它追蹤目前連續相同結果的次數，以及一個「已達成」的吸收狀態。每次擲幣不是延續連續（機率 $p$），就是中斷連續（機率 $1-p$）。

$$P(\text{run} \ge k) = 1 - Q(n)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} k &= \text{Streak length} \\ p &= \text{Probability} \\ q &= 1 - p \end{aligned} \right.$$ $$P(\text{all }k) = p^{\,k}$$ $$E[\text{runs}] = p^{\,k}\Big( (1-p)\,(n - k + 1) + 1 \Big)$$