सिक्का उछाल स्ट्रीक कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल बताता है कि कुल n बार सिक्का उछालने पर लगातार k एक जैसे परिणामों की स्ट्रीक (लगातार चलने वाली शृंखला) मिलने की संभावना कितनी है। यह एक निष्पक्ष सिक्के (\(p = 0.5\)) के साथ-साथ ऐसे किसी भी पक्षपाती सिक्के के लिए भी काम करता है जिसमें कोई एक पक्ष प्रायिकता \(p\) के साथ आता हो। इसके अलावा यह यह भी बताता है कि लगातार \(k\) उछालों का कोई खास खंड एक जैसा आने की मूल संभावना कितनी है और ऐसी कितनी स्ट्रीक की अपेक्षा की जा सकती है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
उछालों की संख्या (\(n\)), जिस लंबाई की स्ट्रीक आप जानना चाहते हैं वह (\(k\)), और जिस पक्ष पर आप नज़र रख रहे हैं उसकी प्रायिकता \(p\) दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको \(k\) या उससे ज़्यादा लंबाई की कम-से-कम एक स्ट्रीक मिलने की संभावना, सीधी \(p^k\) प्रायिकता, और कितनी स्ट्रीक की उम्मीद की जा सकती है उसका अनुमान बताता है।
फ़ॉर्मूला समझें
लगातार \(k\) उछालों का सभी चुने गए पक्ष पर आना — इसकी प्रायिकता बस \(p^{k}\) होती है।
$$P(\text{all }k) = p^{\,k}$$इससे कठिन सवाल — यानी \(n\) उछालों में कहीं भी \(k\) लंबाई की कम-से-कम एक स्ट्रीक आने की संभावना — को एक डायनैमिक प्रोग्राम से बिल्कुल सटीक हल किया जाता है, जो वर्तमान में लगातार मिल रहे एक जैसे परिणामों की गिनती और एक "लक्ष्य पूरा" (absorbing) अवस्था को ट्रैक करता है। हर उछाल या तो स्ट्रीक को आगे बढ़ाता है (प्रायिकता \(p\)) या उसे फिर से शून्य कर देता है (प्रायिकता \(1-p\))।
$$\begin{gathered} P(\text{run} \ge k) = 1 - Q(n) \\[1.2em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} k &= \text{Streak length} \\ p &= \text{Probability} \\ q &= 1 - p \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
हल किया हुआ उदाहरण
एक निष्पक्ष सिक्के (\(p = 0.5\)) के लिए, \(k = 3\), \(n = 5\): $$p^k = 0.5^3 = 0.125 \ (12.5\%)$$ 5 उछालों में लगातार 3 चित (heads) आने की कम-से-कम एक स्ट्रीक की सटीक प्रायिकता \(0.25\) (25%) निकलती है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर \(k\), \(n\) से बड़ा हो तो? तब \(k\) लंबाई की स्ट्रीक समा ही नहीं सकती, इसलिए प्रायिकता 0 होगी।
क्या यह ओवरलैप करने वाली स्ट्रीक को गिनता है? स्ट्रीक की प्रायिकता "\(k\) या उससे ज़्यादा लंबाई की कम-से-कम एक स्ट्रीक" के लिए है; जबकि अपेक्षित स्ट्रीक की संख्या अलग-अलग स्ट्रीक का एक अनुमानित आँकड़ा है।
क्या मैं पक्षपाती सिक्का इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ — जिस पक्ष पर आप नज़र रख रहे हैं उसके लिए \(p\) को 0 और 1 के बीच कोई भी मान दें।
