अपेक्षित मान क्या है?
किसी असतत यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान (जिसे माध्य या प्रत्याशा भी कहते हैं) वह दीर्घकालिक औसत परिणाम होता है जिसकी उम्मीद आप तब कर सकते हैं जब किसी प्रयोग को बार-बार दोहराया जाए। इसे निकालने के लिए हर संभावित परिणाम को उसकी प्रायिकता से गुणा किया जाता है और फिर सभी गुणनफलों को जोड़ दिया जाता है। यह कैलकुलेटर परिणामों और उनसे मेल खाती प्रायिकताओं की किसी भी सूची के लिए \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\) सूत्र का इस्तेमाल करता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने परिणामों के मान कॉमा से अलग की गई सूची के रूप में दर्ज करें (उदाहरण के लिए 10, 20, 30) और उसी क्रम में उनकी संबंधित प्रायिकताएँ डालें (उदाहरण के लिए 0.5, 0.3, 0.2)। हर मान को उसी स्थान पर मौजूद प्रायिकता के साथ जोड़ा जाता है। कैलकुलेटर अपेक्षित मान, इस्तेमाल किए गए पदों की संख्या, और प्रायिकताओं का योग दिखाता है ताकि आप जाँच सकें कि वितरण मान्य है या नहीं (इसका कुल योग 1 होना चाहिए)।
सूत्र की व्याख्या
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$$ का मतलब है: हर परिणाम \(x_i\) लें, उसे उसकी प्रायिकता \(p_i\) से गुणा करें, और फिर सभी परिणामों के लिए इन्हें जोड़ दें। जो परिणाम बड़े और साथ ही अधिक संभावित होते हैं, वे अपेक्षित मान में सबसे ज़्यादा योगदान देते हैं। अगर प्रायिकताओं का योग 1 नहीं होता, तो तकनीकी रूप से परिणाम एक भारित योग होगा, न कि सही अपेक्षित मान — इसलिए "प्रायिकताओं का योग" वाली पंक्ति ज़रूर जाँचें।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए कोई खेल 0.5, 0.3 और 0.2 प्रायिकताओं के साथ $0, $5 या $20 देता है। तब $$E(X) = (0 \times 0.5) + (5 \times 0.3) + (20 \times 0.2) = 0 + 1.5 + 4 = 5.5$$ होगा। यानी हर बार खेलने पर अपेक्षित भुगतान $5.50 है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या प्रायिकताओं का योग 1 होना ज़रूरी है? एक मान्य प्रायिकता वितरण के लिए, हाँ। अगर ऐसा नहीं होता, तब भी कैलकुलेटर भारित योग निकाल देता है और कुल योग दिखाता है ताकि आप समायोजन कर सकें।
क्या परिणाम ऋणात्मक हो सकते हैं? हाँ — नुकसान या ऋणात्मक भुगतान को ऋणात्मक संख्याओं के रूप में दर्ज किया जाता है, जो जुआ और वित्त से जुड़े उदाहरणों में आम बात है।
अगर मैं मानों और प्रायिकताओं की अलग-अलग संख्या दर्ज करूँ तो क्या होगा? कैलकुलेटर वस्तुओं को उनके स्थान के अनुसार जोड़ता है और केवल उतने ही जोड़े इस्तेमाल करता है जितने छोटी सूची में मौजूद हों।
