ما هي القيمة المتوقعة؟
القيمة المتوقعة (وتُسمى أيضًا المتوسط أو التوقّع) لمتغير عشوائي منفصل هي الناتج الوسطي الذي تتوقع الحصول عليه على المدى الطويل لو كُررت التجربة مرات عديدة. ولحسابها تضرب كل ناتج محتمل في احتماله ثم تجمع كل هذه الحواصل معًا. تطبّق هذه الحاسبة الصيغة \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\) على أي قائمة من النواتج واحتمالاتها المقابلة.
طريقة استخدام الحاسبة
أدخل قيم النواتج كقائمة مفصولة بفواصل (مثال: 10، 20، 30) ثم أدخل الاحتمالات المقابلة لها بالترتيب نفسه (مثال: 0.5، 0.3، 0.2). يُقرَن كل ناتج بالاحتمال الموجود في الموضع ذاته. تُظهر لك الحاسبة القيمة المتوقعة، وعدد الحدود المستخدمة، ومجموع الاحتمالات حتى تتحقق من صحة التوزيع (يجب أن يكون مجموعها 1).
شرح الصيغة
تعني الصيغة
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$$ما يلي: خُذ كل ناتج \(x_i\)، واضربه في احتماله \(p_i\)، ثم اجمع الحواصل عبر جميع النواتج. والنواتج الكبيرة والمرجّحة الوقوع في آنٍ واحد هي الأكثر إسهامًا في القيمة المتوقعة. أما إذا لم يكن مجموع الاحتمالات يساوي 1، فإن الناتج يكون من الناحية الفنية مجموعًا مرجّحًا وليس توقّعًا حقيقيًا — تحقّق من صف «مجموع الاحتمالات».
مثال محلول
افترض أن لعبة تدفع 0 أو 5 أو 20 دولارًا باحتمالات 0.5 و0.3 و0.2 على التوالي. عندئذٍ يكون
$$E(X) = (0 \times 0.5) + (5 \times 0.3) + (20 \times 0.2) = 0 + 1.5 + 4 = 5.5$$أي أن العائد المتوقع هو 5.50 دولارات لكل جولة.
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن يكون مجموع الاحتمالات 1؟ نعم، لكي يكون التوزيع الاحتمالي صحيحًا. ومع ذلك، تحسب الحاسبة المجموع المرجّح حتى لو لم تكن كذلك، وتعرض لك المجموع الكلي حتى تتمكن من التعديل.
هل يمكن أن تكون النواتج سالبة؟ نعم — تُدخَل الخسائر أو العوائد السالبة كأرقام سالبة، وهو أمر شائع في أمثلة المقامرة والتمويل.
ماذا لو أدخلت عددًا مختلفًا من القيم والاحتمالات؟ تقرن الحاسبة العناصر حسب موضعها وتستخدم فقط عدد الأزواج الذي توفّره القائمة الأقصر.
