Giá trị kỳ vọng là gì?
Giá trị kỳ vọng (còn gọi là kỳ vọng toán hay trung bình) của một biến ngẫu nhiên rời rạc chính là kết quả trung bình mà bạn dự đoán sẽ nhận được nếu lặp lại phép thử thật nhiều lần. Để tính, ta lấy mỗi kết quả có thể xảy ra nhân với xác suất của nó, rồi cộng tất cả các tích lại. Công cụ này áp dụng công thức \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\) cho bất kỳ danh sách kết quả và xác suất tương ứng nào.
Cách sử dụng máy tính
Nhập các giá trị kết quả dưới dạng danh sách ngăn cách bằng dấu phẩy (ví dụ 10, 20, 30) và các xác suất tương ứng theo đúng thứ tự đó (ví dụ 0.5, 0.3, 0.2). Mỗi giá trị sẽ được ghép với xác suất ở cùng vị trí. Máy tính trả về giá trị kỳ vọng, số lượng cặp đã dùng và tổng các xác suất để bạn kiểm tra xem phân phối có hợp lệ hay không (tổng phải bằng 1).
Giải thích công thức
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$$ có nghĩa là: lấy từng kết quả \(x_i\) nhân với xác suất \(p_i\) của nó, rồi cộng tổng trên tất cả các kết quả. Những kết quả vừa có giá trị lớn vừa có khả năng xảy ra cao sẽ đóng góp nhiều nhất vào giá trị kỳ vọng. Nếu tổng các xác suất không bằng 1, thì kết quả thực chất chỉ là một tổng có trọng số chứ chưa phải kỳ vọng đúng nghĩa — hãy kiểm tra dòng "Tổng các xác suất".
Ví dụ minh họa
Giả sử một trò chơi trả thưởng 0$, 5$ hoặc 20$ với xác suất lần lượt là 0.5, 0.3 và 0.2. Khi đó $$E(X) = (0 \times 0.5) + (5 \times 0.3) + (20 \times 0.2) = 0 + 1.5 + 4 = 5.5.$$ Vậy số tiền thưởng kỳ vọng là 5,50$ cho mỗi lượt chơi.
Câu hỏi thường gặp
Tổng các xác suất có bắt buộc bằng 1 không? Để có một phân phối xác suất hợp lệ thì có. Tuy nhiên, ngay cả khi tổng không bằng 1, máy tính vẫn tính tổng có trọng số và hiển thị tổng đó để bạn điều chỉnh.
Kết quả có thể là số âm không? Có — những khoản lỗ hoặc giá trị âm được nhập dưới dạng số âm, điều này rất phổ biến trong các ví dụ về cờ bạc và tài chính.
Nếu tôi nhập số lượng giá trị và xác suất không khớp nhau thì sao? Máy tính ghép các phần tử theo vị trí và chỉ sử dụng số cặp tương ứng với danh sách ngắn hơn.
