Qu'est-ce que l'espérance mathématique ?
L'espérance mathématique (aussi appelée moyenne ou espérance) d'une variable aléatoire discrète correspond au résultat moyen que l'on obtiendrait sur le long terme si l'on répétait une expérience un grand nombre de fois. On la calcule en multipliant chaque résultat possible par sa probabilité, puis en additionnant l'ensemble de ces produits. Ce calculateur applique la formule \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\) à n'importe quelle liste de résultats accompagnée de leurs probabilités.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez vos valeurs de résultats sous forme de liste séparée par des virgules (par exemple 10, 20, 30) ainsi que les probabilités correspondantes dans le même ordre (par exemple 0.5, 0.3, 0.2). Chaque valeur est associée à la probabilité située à la même position. Le calculateur affiche l'espérance, le nombre de termes utilisés et la somme des probabilités, ce qui vous permet de vérifier que la distribution est valide (le total doit être égal à 1).
La formule expliquée
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$$ signifie : prenez chaque résultat \(x_i\), multipliez-le par sa probabilité \(p_i\), puis additionnez le tout pour l'ensemble des résultats. Les résultats à la fois élevés et probables contribuent le plus à l'espérance. Si la somme des probabilités n'est pas égale à 1, le résultat correspond techniquement à une somme pondérée plutôt qu'à une véritable espérance : vérifiez la ligne « Somme des probabilités ».
Exemple concret
Imaginons un jeu qui rapporte 0 $, 5 $ ou 20 $ avec des probabilités de 0.5, 0.3 et 0.2. Alors $$E(X) = (0\times0.5) + (5\times0.3) + (20\times0.2) = 0 + 1{,}5 + 4 = 5{,}5.$$ Le gain espéré est donc de 5,50 $ par partie.
FAQ
La somme des probabilités doit-elle être égale à 1 ? Pour une distribution de probabilité valide, oui. Le calculateur calcule tout de même la somme pondérée dans le cas contraire et affiche le total pour que vous puissiez ajuster.
Les résultats peuvent-ils être négatifs ? Oui : les pertes ou gains négatifs s'entrent sous forme de nombres négatifs, ce qui est fréquent dans les exemples liés aux jeux de hasard et à la finance.
Que se passe-t-il si je saisis un nombre différent de valeurs et de probabilités ? Le calculateur associe les éléments par position et n'utilise que le nombre de paires fourni par la liste la plus courte.
