Что такое математическое ожидание?
Математическое ожидание (его также называют средним значением или просто «матожиданием») дискретной случайной величины — это тот средний результат, к которому стремится исход эксперимента, если повторить его очень много раз. Чтобы его найти, нужно умножить каждый возможный исход на его вероятность и сложить полученные произведения. Этот калькулятор реализует формулу \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\) для любого набора исходов и соответствующих им вероятностей.
Как пользоваться калькулятором
Введите значения исходов через запятую (например, 10, 20, 30), а затем — соответствующие им вероятности в том же порядке (например, 0.5, 0.3, 0.2). Каждое значение сопоставляется с вероятностью, стоящей на той же позиции. Калькулятор выдаст математическое ожидание, количество использованных слагаемых и сумму вероятностей — так вы сможете проверить, что распределение корректно (сумма должна равняться 1).
Разбор формулы
Формула $$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$$ означает следующее: берём каждый исход \(x_i\), умножаем его на вероятность \(p_i\), а затем суммируем результаты по всем исходам. Наибольший вклад в математическое ожидание вносят исходы, которые одновременно велики по значению и достаточно вероятны. Если сумма вероятностей не равна 1, то результат, строго говоря, является взвешенной суммой, а не настоящим математическим ожиданием — обязательно сверьтесь со строкой «Сумма вероятностей».
Разбор примера
Предположим, в игре можно выиграть 0, 5 или 20 долларов с вероятностями 0.5, 0.3 и 0.2 соответственно. Тогда $$E(X) = (0 \times 0.5) + (5 \times 0.3) + (20 \times 0.2) = 0 + 1.5 + 4 = 5.5.$$ Ожидаемый выигрыш составляет 5,50 доллара за одну игру.
Частые вопросы
Обязательно ли сумма вероятностей должна равняться 1? Для корректного распределения вероятностей — да. Если же сумма не равна 1, калькулятор всё равно посчитает взвешенную сумму и покажет общий итог, чтобы вы могли подкорректировать данные.
Могут ли исходы быть отрицательными? Да — убытки или отрицательные выплаты вводятся как отрицательные числа. Это часто встречается в задачах по азартным играм и финансам.
Что будет, если значений и вероятностей окажется разное количество? Калькулятор сопоставляет элементы по позициям и использует ровно столько пар, сколько содержится в более коротком списке.
