क्रिटिकल वैल्यू कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

कॉन्फिडेंस लेवल (%):

स्वतंत्रता की कोटि:

वितरण प्रकार: Normal (Z) Student's t Chi-square (χ²) F

स्वतंत्रता की कोटि (डिनॉमिनेटर):

परिणाम

क्रिटिकल वैल्यू

± 1.96

कॉन्फिडेंस लेवल	95%
वितरण प्रकार	Normal (Z)
स्वतंत्रता की कोटि	30
अल्फा (α)	0.05

यह क्रिटिकल वैल्यू कैलकुलेटर क्या करता है

यह कैलकुलेटर किसी सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण (hypothesis test) या कॉन्फिडेंस इंटरवल के लिए ज़रूरी क्रिटिकल वैल्यू निकालता है। क्रिटिकल वैल्यू किसी प्रायिकता वितरण पर वह कट-ऑफ बिंदु होता है जो उस क्षेत्र को अलग करता है जहाँ आप नल हाइपोथेसिस (null hypothesis) को खारिज करते हैं, उस क्षेत्र से जहाँ आप उसे स्वीकार रखते हैं। पुरानी सांख्यिकीय तालिकाओं को खंगालने की बजाय, आप बस कुछ जानकारी दर्ज करते हैं और normal (Z), Student's t, chi-square (χ²) या F वितरण के लिए सटीक मान पा जाते हैं।

Critical values mark the boundaries of the rejection regions in a distribution's tails.

इनपुट को समझें

• कॉन्फिडेंस लेवल (%) – जैसे 95। यह टूल इसे महत्व स्तर (significance level) अल्फा में बदल देता है: \(\alpha = \frac{100 - \text{कॉन्फिडेंस लेवल}}{100}\)। 95% लेवल से \(\alpha = 0.05\) मिलता है।
• वितरण प्रकार – Normal (Z), Student's t, Chi-square (χ²) या F में से चुनें।
• स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of Freedom) – t, chi-square और F के लिए आवश्यक। F के लिए यह न्यूमरेटर (numerator) की स्वतंत्रता की कोटि है।
• स्वतंत्रता की कोटि (डिनॉमिनेटर) – केवल F वितरण में इस्तेमाल होती है।

इसके पीछे का सूत्र

यह कैलकुलेटर चुने गए वितरण के व्युत्क्रम संचयी वितरण फलन (inverse cumulative distribution function, यानी क्वांटाइल फलन) का उपयोग करता है:

• Normal और t (दो-पुच्छीय / two-tailed): क्रिटिकल वैल्यू \(= |\text{inverseCDF}(\alpha / 2)|\)। यहाँ \(\alpha\) दोनों पुच्छों (tails) में बँट जाता है।
• Chi-square और F (दाएँ-पुच्छीय / right-tailed): क्रिटिकल वैल्यू \(= \text{inverseCDF}(1 - \alpha)\), यानी पूरा \(\alpha\) ऊपरी पुच्छ में रखा जाता है।

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Different test distributions yield different critical-value shapes.

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आप 95% कॉन्फिडेंस लेवल पर 20 स्वतंत्रता की कोटि के साथ एक दो-पुच्छीय t-test चलाते हैं। \(\alpha = (100 - 95) / 100 = 0.05\), इसलिए \(\alpha / 2 = 0.025\)। कैलकुलेटर 20 df वाले t-वितरण के लिए 0.025 पर inverse CDF निकालता है और उसका निरपेक्ष मान (absolute value) देता है, जिससे क्रिटिकल वैल्यू लगभग 2.086 आती है। यदि आपका टेस्ट स्टैटिस्टिक का परिमाण 2.086 से अधिक है, तो आप नल हाइपोथेसिस को खारिज कर देते हैं।

10 df के साथ 95% पर chi-square परीक्षण के लिए, यह \(\text{inverseCDF}(0.95) \approx\) 18.31 निकालता है।

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One-tailed and two-tailed tests place the alpha area differently.

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

Z/t का परिणाम दो-पुच्छीय क्यों होता है? Normal और t वितरण के लिए यह टूल \(\alpha\) को दो से भाग देता है, जो मानक दो-तरफा (two-sided) परीक्षण को दर्शाता है। एक-पुच्छीय परीक्षण के लिए, कॉन्फिडेंस लेवल को तदनुसार समायोजित करके दर्ज करें (जैसे एक-पुच्छीय 95% सीमा के लिए 90% का उपयोग करें)।

क्या normal वितरण के लिए मुझे स्वतंत्रता की कोटि चाहिए? नहीं। Z क्रिटिकल वैल्यू केवल कॉन्फिडेंस लेवल पर निर्भर करती है। स्वतंत्रता की कोटि केवल t, chi-square और F के लिए मायने रखती है।

डिनॉमिनेटर की स्वतंत्रता की कोटि कब भरूँ? केवल F वितरण के लिए, जिसे न्यूमरेटर और डिनॉमिनेटर दोनों की स्वतंत्रता की कोटि चाहिए (यह ANOVA और प्रसरण तुलना में आम है)।