क्रिटिकल t वैल्यू क्या होती है?
क्रिटिकल t वैल्यू (t*) स्टूडेंट के t डिस्ट्रीब्यूशन पर वह सीमा-बिंदु है जो किसी परिकल्पना परीक्षण (hypothesis test) के अस्वीकृति क्षेत्र (rejection region) को तय करती है। अगर आपका गणना किया हुआ t सांख्यिकीय मान इस क्रांतिक मान से ज़्यादा निकलता है, तो आप शून्य परिकल्पना (null hypothesis) को अस्वीकार कर देते हैं। यह क्रांतिक मान दो बातों पर निर्भर करता है: आपके चुने हुए सार्थकता स्तर (α) और स्वातंत्र्य कोटि (df) पर — एक-नमूना परीक्षण में df नमूने के आकार में से एक घटाने पर मिलती है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपना सार्थकता स्तर डालें — आमतौर पर यह 0.05, 0.01 या 0.10 होता है — और साथ में अपनी स्वातंत्र्य कोटि (df) भी। चुनें कि आपका परीक्षण द्वि-पुच्छ (two-tailed, यानी किसी भी दिशा में अंतर जाँचना) है या एक-पुच्छ (one-tailed, यानी सिर्फ़ एक दिशा में जाँचना)। कैलकुलेटर आपको क्रिटिकल t वैल्यू देगा, जिसकी तुलना आप अपने परीक्षण सांख्यिकीय मान से करते हैं।
सूत्र
द्वि-पुच्छ परीक्षण में क्रांतिक मान t डिस्ट्रीब्यूशन के व्युत्क्रम (inverse) को प्रायिकता 1 − α/2 पर निकालकर मिलता है: \( t^{*} = t^{-1}(1 - \alpha/2,\ \text{df}) \)। एक-पुच्छ परीक्षण में इसके बजाय \( 1 - \alpha \) का उपयोग होता है। चूँकि t डिस्ट्रीब्यूशन सममित (symmetric) होता है, इसलिए द्वि-पुच्छ मान को \( \pm t^{*} \) के रूप में दिखाया जाता है। यह टूल t क्वांटाइल निकालने के लिए Acklam के व्युत्क्रम-सामान्य सन्निकटन (inverse-normal approximation) को Cornish–Fisher विस्तार के साथ जोड़कर इस्तेमाल करता है।
$$ t_{\text{crit}} = z_{p} + \frac{g_1}{\nu} + \frac{g_2}{\nu^{2}} + \frac{g_3}{\nu^{3}} + \frac{g_4}{\nu^{4}} $$ $$ \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} p &= 1 - \frac{\alpha}{2} \\ \nu &= \text{df} \\ z_{p} &= \Phi^{-1}(p) \end{aligned} \right. $$हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए α = 0.05, df = 10, और परीक्षण द्वि-पुच्छ है। संचयी प्रायिकता (cumulative probability) होगी \( 1 - 0.05/2 = 0.975 \)। व्युत्क्रम t डिस्ट्रीब्यूशन देखने पर \( t^{*} \approx 2.228 \) मिलता है। यानी अगर आपका परीक्षण सांख्यिकीय मान −2.228 से नीचे या +2.228 से ऊपर गिरता है, तो आप शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर देंगे।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
मुझे कौन-सी स्वातंत्र्य कोटि (df) इस्तेमाल करनी चाहिए? एक-नमूना t-परीक्षण के लिए \( \text{df} = n - 1 \) होती है। दो-नमूना परीक्षण में यह डिज़ाइन पर निर्भर करती है, पर एक आम मान \( n_1 + n_2 - 2 \) होता है।
एक-पुच्छ या द्वि-पुच्छ? जब तक आपकी परिकल्पना किसी ख़ास दिशा का संकेत न दे (जैसे "इससे ज़्यादा"), तब तक द्वि-पुच्छ ही चुनें। द्वि-पुच्छ परीक्षण ज़्यादा रूढ़िवादी (conservative) माने जाते हैं।
बड़ी df पर t* का मान 1.96 के पास क्यों पहुँच जाता है? जैसे-जैसे स्वातंत्र्य कोटि बढ़ती है, t डिस्ट्रीब्यूशन मानक सामान्य डिस्ट्रीब्यूशन (standard normal distribution) के करीब पहुँचता जाता है, इसलिए α = 0.05 पर द्वि-पुच्छ क्रांतिक मान 1.96 के z मान के पास पहुँच जाता है।
