क्रिटिकल Z वैल्यू क्या होती है?
क्रिटिकल z वैल्यू (अक्सर z* लिखी जाती है) स्टैंडर्ड नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन में रिजेक्शन रीजन की सीमा तय करती है। यह वह z-स्कोर है जो किसी चुने हुए कॉन्फिडेंस लेवल या सिग्निफिकेंस लेवल (α) से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, मशहूर \(z^* = 1.96\) दरअसल 95% टू-टेल्ड कॉन्फिडेंस लेवल से आता है। यह कैलकुलेटर स्टैंडर्ड नॉर्मल क्यूम्युलेटिव डिस्ट्रिब्यूशन फ़ंक्शन (CDF) को उल्टा (इन्वर्ट) करता है, ताकि आप सीधे कॉन्फिडेंस लेवल से उससे मेल खाती z वैल्यू तक पहुँच सकें।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
अपना कॉन्फिडेंस लेवल प्रतिशत में डालें (जैसे 95% के लिए सिर्फ़ 95)। फिर चुनें कि आपका टेस्ट टू-टेल्ड है (कॉन्फिडेंस इंटरवल और दो-तरफ़ा हाइपोथेसिस टेस्ट के लिए आम तौर पर यही चुना जाता है) या वन-टेल्ड (किसी दिशात्मक यानी directional टेस्ट के लिए)। कैलकुलेटर आपको क्रिटिकल z वैल्यू के साथ-साथ सिग्निफिकेंस लेवल α और जिस क्यूम्युलेटिव प्रोबैबिलिटी को उसने देखा, वह भी बताता है।
फ़ॉर्मूला समझें
सबसे पहले कॉन्फिडेंस लेवल को सिग्निफिकेंस लेवल में बदलें: \(\alpha = 1 - \text{कॉन्फिडेंस}\)। टू-टेल्ड टेस्ट में, दोनों टेल्स के बीच बँटने वाला एरिया α होता है, यानी हर टेल में α/2 रहता है। ऐसे में क्रिटिकल वैल्यू \(1 - \alpha/2\) पर इन्वर्स नॉर्मल होती है, जिसे निम्न रूप में लिखा जाता है:
$$z^* = \Phi^{-1}\!\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)$$वन-टेल्ड टेस्ट में पूरा α एक ही टेल में रहता है, इसलिए:
$$z = \Phi^{-1}\!\left(1 - \alpha\right)$$यहाँ \(\Phi^{-1}\) स्टैंडर्ड नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन का क्वांटाइल (इन्वर्स CDF) है, जिसे एक हाई-एक्यूरेसी रैशनल अप्रॉक्सिमेशन से निकाला जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आपको 95% टू-टेल्ड क्रिटिकल वैल्यू चाहिए। तब \(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\), और \(\alpha/2 = 0.025\)। क्यूम्युलेटिव प्रोबैबिलिटी होगी \(1 - 0.025 = 0.975\)। अब \(\Phi^{-1}(0.975)\) देखने पर \(z^* \approx 1.95996\) मिलता है — वही जाना-पहचाना 1.96 जो कॉन्फिडेंस इंटरवल में इस्तेमाल होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
95% कॉन्फिडेंस पर z = 1.96 क्यों होता है? क्योंकि स्टैंडर्ड नॉर्मल कर्व के नीचे 1.96 के बाईं ओर एरिया का 0.975 हिस्सा होता है, जिससे हर टेल में 2.5% बचता है।
वन-टेल्ड और टू-टेल्ड में क्या फ़र्क है? टू-टेल्ड टेस्ट α को दोनों टेल्स में बाँटता है (इसलिए z* बड़ा होता है); वन-टेल्ड टेस्ट पूरे α को एक ही टेल में रखता है।
99% कॉन्फिडेंस से कौन-सी z वैल्यू मेल खाती है? टू-टेल्ड में यह लगभग 2.5758 होती है।
