臨界z値とは？
臨界z値（多くの場合 \(z^*\) と表記）は、標準正規分布における棄却域の境界を示す値です。選択した信頼水準、または有意水準（\(\alpha\)）に対応するz値（z-score）のことを指します。たとえば、よく知られた \(z^* = 1.96\) は、信頼水準95％の両側検定から導かれる値です。この計算ツールは標準正規分布の累積分布関数（CDF）の逆関数を用いるため、信頼水準を入力するだけで対応するz値をそのまま求められます。
使い方
信頼水準をパーセントで入力します（例：95％なら「95」）。次に、検定が両側検定（信頼区間や両側仮説検定で一般的に用いられる方式）か、片側検定（方向性のある検定）かを選びます。すると、臨界z値とあわせて有意水準αと、計算に使われた累積確率が表示されます。
計算式の解説
まず信頼水準を有意水準に変換します。\(\alpha = 1 - \text{信頼水準}\) です。両側検定では、αが左右両方の裾に分かれるため、各裾には \(\alpha/2\) ずつ割り当てられます。臨界値は \(1 - \alpha/2\) における逆正規分布の値で、$$z^* = \Phi^{-1}\!\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)$$ と表されます。片側検定では、αのすべてが片方の裾に集中するため、$$z = \Phi^{-1}\!\left(1 - \alpha\right)$$ となります。ここで \(\Phi^{-1}\) は標準正規分布の分位点（逆CDF）であり、高精度の有理関数近似によって計算されます。
具体例
信頼水準95％・両側検定の臨界値を求めるとしましょう。このとき \(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)、\(\alpha/2 = 0.025\) となります。累積確率は \(1 - 0.025 = 0.975\) です。\(\Phi^{-1}(0.975)\) を求めると \(z^* \approx 1.95996\) となり、これが信頼区間でおなじみの 1.96 です。
よくある質問
なぜ信頼水準95％では \(z = 1.96\) になるのですか？ 標準正規分布の曲線において、面積の 0.975 が 1.96 より左側にあり、左右それぞれの裾に2.5％が残るためです。
片側検定と両側検定の違いは何ですか？ 両側検定はαを左右両方の裾に分けるため、\(z^*\) は大きくなります。片側検定はαのすべてを片方の裾に置きます。
信頼水準99％に対応するz値は？ 両側検定の場合、約 2.5758 です。
