Qu'est-ce qu'une valeur Z critique ?
Une valeur z critique (souvent notée z*) délimite la frontière de la région de rejet dans une loi normale centrée réduite. Il s'agit du score z qui correspond à un niveau de confiance ou à un seuil de signification (α) donné. Par exemple, le célèbre z* = 1,96 découle d'un niveau de confiance bilatéral de 95 %. Ce calculateur inverse la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite (FDR) : vous passez ainsi directement d'un niveau de confiance à la valeur z correspondante.
Comment l'utiliser
Saisissez votre niveau de confiance sous forme de pourcentage (par exemple 95 pour 95 %). Indiquez ensuite si votre test est bilatéral (le choix habituel pour les intervalles de confiance et les tests d'hypothèse à deux côtés) ou unilatéral (pour un test directionnel). Le calculateur renvoie la valeur z critique, accompagnée du seuil de signification α et de la probabilité cumulée utilisée.
La formule expliquée
Convertissez d'abord le niveau de confiance en seuil de signification : \(\alpha = 1 - \text{confiance}\). Pour un test bilatéral, l'aire répartie entre les deux extrémités vaut \(\alpha\), soit \(\alpha/2\) dans chaque queue. La valeur critique correspond alors à la normale inverse en \(1 - \alpha/2\), notée
$$z^* = \Phi^{-1}\!\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)$$Pour un test unilatéral, la totalité de \(\alpha\) se concentre dans une seule queue, d'où
$$z = \Phi^{-1}\!\left(1 - \alpha\right)$$Ici, \(\Phi^{-1}\) désigne le quantile (la fonction de répartition inverse) de la loi normale centrée réduite, calculé à l'aide d'une approximation rationnelle de haute précision.
Exemple détaillé
Supposons que vous souhaitiez une valeur critique bilatérale à 95 %. On a alors \(\alpha = 1 - 0{,}95 = 0{,}05\), et \(\alpha/2 = 0{,}025\). La probabilité cumulée vaut \(1 - 0{,}025 = 0{,}975\). En calculant \(\Phi^{-1}(0{,}975)\), on obtient \(z^* \approx 1{,}95996\), soit le fameux 1,96 utilisé dans les intervalles de confiance.
FAQ
Pourquoi un niveau de confiance de 95 % donne-t-il z = 1,96 ? Parce que 0,975 de l'aire se situe à gauche de 1,96 sous la courbe normale centrée réduite, ce qui laisse 2,5 % dans chaque queue.
Quelle est la différence entre un test unilatéral et bilatéral ? Un test bilatéral répartit \(\alpha\) entre les deux queues (le z* est donc plus grand) ; un test unilatéral place la totalité de \(\alpha\) dans une seule queue.
Quelle valeur z correspond à un niveau de confiance de 99 % ? En bilatéral, elle vaut environ 2,5758.
