什麼是臨界 Z 值？
臨界 z 值（通常寫成 z*）標示了標準常態分配中拒絕域的邊界。它是對應某個信心水準或顯著水準（α）的 z 分數。舉例來說，大家最熟悉的 z* = 1.96，就是來自 95% 的雙尾信心水準。這個計算器會反推標準常態的累積分配函數（CDF），讓你能直接從信心水準換算出對應的 z 值，省去查表的麻煩。
使用方式
請以百分比輸入你的信心水準（例如 95% 就填 95）。接著選擇檢定類型：雙尾（信賴區間與雙側假設檢定最常用的選項）或單尾（適用於有方向性的檢定）。計算器會回傳臨界 z 值，並附上顯著水準 α 以及所查詢的累積機率。
公式解析
首先把信心水準轉換成顯著水準：\(\alpha = 1 - \text{信心水準}\)。在雙尾檢定中，\(\alpha\) 會平均分配到兩側尾端，所以每一側各佔 \(\alpha/2\)。臨界值即為 \(1 - \alpha/2\) 處的反常態值，寫成 $$z^* = \Phi^{-1}\!\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)$$ 在單尾檢定中，整個 \(\alpha\) 全集中在單一尾端，因此 $$z = \Phi^{-1}\!\left(1 - \alpha\right)$$ 這裡的 \(\Phi^{-1}\) 是標準常態分配的分位數函數（反 CDF），本工具採用高精度的有理逼近法進行計算。
實例演算
假設你想求 95% 雙尾的臨界值。此時 \(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)，\(\alpha/2 = 0.025\)。累積機率為 \(1 - 0.025 = 0.975\)。查 \(\Phi^{-1}(0.975)\) 可得 \(z^* \approx 1.95996\)，也就是信賴區間中經典的 1.96。
常見問題
為什麼 95% 信心水準的 z = 1.96？因為在標準常態曲線下，1.96 左側涵蓋了 0.975 的面積，兩側尾端各留下 2.5%。
單尾與雙尾有什麼差別？雙尾檢定把 \(\alpha\) 分到兩側尾端（所以 z* 較大）；單尾檢定則把整個 \(\alpha\) 放在單一尾端。
99% 信心水準對應的 z 值是多少？雙尾時約為 2.5758。
