임계 Z값이란?
임계 z값(보통 z*로 표기)은 표준정규분포에서 기각역의 경계를 나타내는 값입니다. 즉, 우리가 선택한 신뢰수준 또는 유의수준(α)에 대응하는 z 점수죠. 예를 들어 통계에서 익숙한 \(z^* = 1.96\)은 95% 양측 신뢰수준에서 나온 값입니다. 이 계산기는 표준정규 누적분포함수(CDF)를 역으로 계산해, 신뢰수준에서 곧바로 그에 맞는 z값을 구할 수 있게 해 줍니다.
사용 방법
먼저 신뢰수준을 백분율로 입력하세요(예: 95%라면 95). 그런 다음 검정 방식이 양측 검정인지(신뢰구간이나 양측 가설검정에서 흔히 쓰는 방식) 단측 검정인지(방향성이 있는 검정) 선택합니다. 계산기는 임계 z값과 함께 유의수준 α, 그리고 계산에 사용된 누적확률까지 보여 줍니다.
공식 풀이
가장 먼저 신뢰수준을 유의수준으로 바꿉니다: α = 1 − 신뢰수준. 양측 검정에서는 양쪽 꼬리에 α가 나뉘어 들어가므로 각 꼬리에는 α/2씩 자리합니다. 이때 임계값은 1 − α/2에서의 역정규값, 즉 다음과 같이 구합니다.
$$z^* = \Phi^{-1}\!\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right), \quad \alpha = 1 - \frac{\text{Confidence (\%)}}{100}$$단측 검정에서는 α 전체가 한쪽 꼬리에 몰리므로 다음과 같이 됩니다.
$$z = \Phi^{-1}\!\left(1 - \alpha\right), \quad \alpha = 1 - \frac{\text{Confidence (\%)}}{100}$$여기서 \(\Phi^{-1}\)은 표준정규분포의 분위수 함수(역 CDF)이며, 본 계산기는 고정밀 유리함수 근사를 이용해 계산합니다.
계산 예시
95% 양측 임계값을 구한다고 해 봅시다. 그러면 \(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)이고, \(\alpha/2 = 0.025\)입니다. 누적확률은 \(1 - 0.025 = 0.975\)이 됩니다. \(\Phi^{-1}(0.975)\)를 찾으면 \(z^* \approx 1.95996\), 즉 신뢰구간에서 흔히 쓰는 그 1.96이 나옵니다.
자주 묻는 질문
왜 95% 신뢰수준에서 z = 1.96인가요? 표준정규곡선에서 1.96보다 왼쪽에 전체 면적의 0.975가 놓이고, 양쪽 꼬리에 각각 2.5%가 남기 때문입니다.
단측 검정과 양측 검정의 차이는 무엇인가요? 양측 검정은 α를 양쪽 꼬리에 나누므로 z*가 더 커지고, 단측 검정은 α를 한쪽 꼬리에 모두 둡니다.
99% 신뢰수준에 대응하는 z값은? 양측 기준으로 약 2.5758입니다.
