임계 t값이란?
임계 t값(t*)은 스튜던트 t분포에서 가설검정의 기각역을 가르는 경계점입니다. 계산한 t 통계량이 임계값을 넘어서면 귀무가설을 기각하게 됩니다. 이 임계값은 두 가지 요소로 결정됩니다. 바로 직접 정한 유의수준(α)과 자유도(df)인데, 일표본 검정에서 자유도는 표본 크기에서 1을 뺀 값입니다.
계산기 사용법
먼저 유의수준을 입력하세요. 보통 0.05, 0.01, 0.10을 많이 사용합니다. 그다음 자유도를 입력합니다. 검정 방식이 양측 검정(양쪽 방향 모두에서 차이를 검정)인지, 단측 검정(한쪽 방향만 검정)인지 선택하면 됩니다. 그러면 계산기가 임계 t값을 알려주며, 이 값을 검정 통계량과 비교하면 됩니다.
계산 공식
양측 검정에서 임계값은 확률 1 − α/2 지점의 역 t분포 값입니다. \(t^{*} = t^{-1}(1 - \alpha/2,\ \mathrm{df})\). 단측 검정에서는 1 − α/2 대신 1 − α를 사용합니다. t분포는 좌우 대칭이므로 양측 검정 값은 ±t* 형태로 표시됩니다. 이 계산기는 Acklam의 역정규분포 근사식과 Cornish–Fisher 전개를 함께 활용해 t 분위수를 구합니다.
$$t_{\text{crit}} = z_{p} + \frac{g_1}{\nu} + \frac{g_2}{\nu^{2}} + \frac{g_3}{\nu^{3}} + \frac{g_4}{\nu^{4}}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} p &= 1 - \frac{\alpha}{2} \\ \nu &= \text{df} \\ z_{p} &= \Phi^{-1}(p) \end{aligned} \right.$$예제로 보는 계산
α = 0.05, df = 10, 양측 검정이라고 가정해 봅시다. 누적확률은 \(1 - 0.05/2 = 0.975\)가 됩니다. 역 t분포에서 이 값을 찾으면 \(t^{*} \approx 2.228\)입니다. 따라서 검정 통계량이 −2.228보다 작거나 +2.228보다 크면 귀무가설을 기각하게 됩니다.
자주 묻는 질문
자유도는 어떻게 정하나요? 일표본 t 검정에서는 \(\mathrm{df} = n - 1\)입니다. 이표본 검정은 설계 방식에 따라 다르지만, \(n_1 + n_2 - 2\)를 흔히 사용합니다.
단측 검정과 양측 검정 중 무엇을 써야 하나요? 가설이 방향성을 명시한 경우(예: "~보다 크다")가 아니라면 양측 검정을 사용하세요. 양측 검정이 더 보수적입니다.
자유도가 커지면 t*가 1.96에 가까워지는 이유는? 자유도가 커질수록 t분포는 표준정규분포에 수렴합니다. 그래서 α = 0.05의 양측 임계값은 z값인 1.96에 점점 가까워집니다.
