什么是临界 t 值？
临界 t 值（记作 t*）是学生 t 分布上的一个分界点，用来界定假设检验的拒绝域。如果你计算出的 t 统计量超过了这个临界值，就可以拒绝原假设（零假设）。临界值由两个因素决定：你选定的显著性水平（α）和自由度（df）。在单样本检验中，自由度等于样本量减 1。
如何使用本计算器
先填入显著性水平——常用取值为 0.05、0.01 或 0.10——再输入自由度。然后选择检验类型：双尾检验（检测两个方向上的差异）还是单尾检验（只检测单一方向）。计算器会返回临界 t 值，你只需将它与自己的检验统计量进行比较即可。
计算公式
对于双尾检验，临界值是 t 分布在概率 1 − α/2 处的反函数值：
$$t^{*} = t^{-1}\left(1 - \frac{\text{α}}{2},\ \text{df}\right)$$对于单尾检验，则改用 1 − α。由于 t 分布是对称的，双尾临界值通常写作 \(\pm t^{*}\)。本工具采用 Acklam 反正态近似算法，并结合 Cornish–Fisher 展开式来求得 t 分位数：
$$t_{\text{crit}} = z_{p} + \frac{g_1}{\nu} + \frac{g_2}{\nu^{2}} + \frac{g_3}{\nu^{3}} + \frac{g_4}{\nu^{4}}$$其中
$$\left\{ \begin{aligned} p &= 1 - \frac{\text{α}}{2} \\ \nu &= \text{df} \\ z_{p} &= \Phi^{-1}(p) \end{aligned} \right.$$计算实例
假设 \(\text{α} = 0.05\)，\(\text{df} = 10\)，进行双尾检验。此时累积概率为 \(1 - 0.05/2 = 0.975\)。查 t 分布的反函数可得 \(t^{*} \approx 2.228\)。也就是说，当你的检验统计量小于 \(-2.228\) 或大于 \(+2.228\) 时，就应当拒绝原假设。
常见问题
自由度该怎么取？ 对于单样本 t 检验，\(\text{df} = n - 1\)。对于双样本检验，取值取决于实验设计，但常见的取法是 \(n_1 + n_2 - 2\)。
该用单尾还是双尾？ 除非你的假设明确指定了方向（例如"大于"），否则一般使用双尾检验。双尾检验更为保守、稳健。
为什么自由度很大时 t* 会趋近 1.96？ 随着自由度增大，t 分布会逐渐逼近标准正态分布。因此在 \(\text{α} = 0.05\) 下，双尾临界值会趋近于标准正态分布的 z 值 1.96。
